ラベル付きDAGに対するディルワースの定理の一般化

antichainにおけるDAG サブセットである即ち、全く存在しない、ペアワイズ到達不能な頂点ようにから到達可能であるにおける。ディルワースの定理半順序理論的には、DAGは、サイズのないantichain持っていない場合はすることが知られている、それはせいぜいの労働組合に分解することができるばらばらチェーン、すなわち、有向パス。 $(V, E)$ $A \subseteq V$ $v \neq v' \in A$ $v$ $v'$ $E$ $k \in \mathbb{N}$ $k-1$

$v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ 、その構造について何を想定できますか？特別な方法で分解できますか？の場合にはすでに困惑しています $\Sigma = \{a, b\}$ が、一般的な有限ラベルセットの場合にも興味があります。

これを $\Sigma = \{a, b\}$ で視覚化 $G$ にラベルサイズ $k$ のアンチチェーンがないということは、少なくとも $k$ 頂点 $a$ および $k$ 頂点を含むアンチチェーンがないことを意味し $b$ ます。任意の大規模なアンチチェーンが存在する可能性がありますが、それらには最大で例外まで $a$ 要素または $b$ 要素のみを含める必要があります。大きなアンチチェーンを禁止すると、DAGがラベルの付いた頂点の幅が広い部分と幅が大きい部分の間で本質的に「交互」になるように強制する必要があるようです。 $k-1$ $a$ $b$ ラベル付けされた頂点、しかし私はこの直観を形式化することができなかった（もちろん、適切な構造的特性評価は、DAGの形状に加えて頂点のラベルについても説明する必要があります。なぜなら、すでに $k \geq 1$ および $\{a, b\}$ では、すべての場合頂点には同じラベルが付いています。）

— a3nm
ソース

@Saeed、いいえ、これは機能しません。混乱が生じるのは、文字がアンチチェーンに表示されない場合、そのラベルのサイズがあるという事実です。完全な二部グラフG =（A、B、Eに）、例えば取る、BにAから指向すべてのエッジを用いてAのすべての頂点をラベルとBのおよびすべての頂点。次に、各アンチチェーンには最大で1つの色が含まれているため、サイズのラベルが付いていますが、互いに素なチェーンでカバーすることはできません。あなたとラベル付けすることをDAGと同じだけ。

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— holf

@holf、そうですね、アンチチェーンに表示されるラベルを数えると思ったのですが、シグマのすべての要素がminになっていることに気付きませんでした。ちょっと奇妙な定義だと思います。

— Saeed

@Saeed：ポイントは、多種多様なシンボルを持つアンチチェーンを禁止することです。これに対する直観は、DAGの問題の複雑さを研究していることです。これは、このような大きなアンチチェーン（比較できないシンボルの十分な数の出現）がある場合に簡単になります。全体的な扱いやすさを示すには、このパターンが発生しないDAGのケースを処理するだけでよいので、そのようなDAGを分解して扱いやすいアルゴリズムを設計する方法を考えたいと思います。（たとえば、ラベルなしの場合、連鎖分解は動的アルゴリズムにつながります。）

— a3nm

チャールズPaperman我々はアルファベットで標識したDAGのためにこのようなAの結果を得ることができた。本質的に、我々は、DAG所与ことを示すことができるの大antichains有する標識要素を、大きなantichains要素を標識するが、両方の多く含有は大きなantichains標識せず、元素標識、その後の分解がありますパーティションとして、ここで： $\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

パーティションは、「階層化」と呼ばれるものつまり、
- 各は凸集合です。つまり、および場合、 $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- すべてのに対して、およびは存在せず、 $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
アンチチェーンは、が「ほぼ含まれる」ようながあります。つまり、定数より小さい $A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
ごとに、次のいずれかが当てはまります。
- $L_i$ 大きなantichain含ま標識要素とのない大antichain含まない標識要素を $a$ $b$
- $L_i$ 大きなantichain含ま標識要素が、のは大きなantichain含まない標識要素を $b$ $a$

さらに、このようなパーティションはPTIMEで計算できます。

私は現在の証拠をオンラインで投稿しました。現時点では結果が役に立たないため、非常に大雑把で本質的には校正されていませんが、CStheoryの質問に現在の進捗状況で答えを追加するのはもっときれいだと思いました。結果に興味はあるが、その証拠を理解できない場合は、遠慮なく私に連絡してください。

— a3nm
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