この「サブグループパッキング」ポリトープは不可欠ですか。

ましょう有限アーベル群であること、およびletでポリトープこと点であると定義さ、以下の不等式を満たします： $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \underset{g \in G}{Σ} {バツ}_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ {バツ}_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

ここで、はがサブグループであることを意味します。ある積分は？もしそうなら、その頂点を特徴付けることができますか？ $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

私の質問は元々で発生しました。いくつかの小さな例（）は、答えが「はい」と「たぶん、しかし単純ではない」ことを示唆しています。また、9要素と10要素の循環グループ、およびも試してみました。ここでもポリトープは積分です。が、、およびいずれかである場合、ポリトープは積分ではないため、アービアン性が明らかに不可欠です。 $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

方程式の最初のセットをと書く場合、は必ずしも完全に単一モジュラーではない（これは、ポリトープが積分であることを意味します）ことに注意してください。、次の3つの線形独立な選択することができ三取る選択素子の各対が及ぶの。結果のサブマトリックスはまでの順列なので、行列式ます。 $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

素数グループの頂点を特徴づけ、それらが統合されていることを観察するのは簡単です（面倒な場合）。これは、プライムパワーのある循環グループにも拡張できると確信しています。製品を服用するとどうなるかわかりません。

このシステムはpolymatroidsを定義しているシステムを非常に思い起こさせますが、制約はサブモジュラー集合関数ではなく、「サブグループ関数」であり、正しい方法で定義すると「サブモジュラー」になると思います。それでも、特定のポリマトロイドが不可欠であることを示すための手法は、ここでも機能する可能性がありますが、その方法はわかりません。

また、フーリエ解析は、関連する可能性がある：とき、最大化頂点と思わ正確に点でありのすべてのための、ならびに有するものここで、は番目のフーリエ文字（ブール関数の分析からの標準表記に従います）であり、は空ではありません。（が空の場合、対応する点は $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$ 、これも頂点です。）

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— アンドリューモーガン
ソース

本当に面白い質問です！

場合、自己同型グループが非同一要素に推移的に作用することに注意することで、分析からいくらかのマイレージを得ることができる場合があります（実際、ある意味で「n-推移的」に、線形独立グループ要素のnタプルを他のそのようなnタプルに送信します）。開始取得するには、WLOG想定することができ

非同一要素の中で最大であり、その

...第二位である

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

— ジョシュアGrochow

@JoshuaGrochowありがとう！座標を並べ替えることが目的であるかどうかはわかりませんが、対称性はほとんど常に役立ちます。それらを使用するもう1つの場所は制約です---結局のところ、自己同型はサブグループをサブグループに送信します。便利なようで何かが任意のポイントのために、ある

タイトで、制約のセットを解決するすべての同型の上にそれを平均、

。しかし、その量を管理できるようにする方法はわかりません。

x

$x$

x

$x$

— Andrew Morgan

はい、これは非常に興味深い奇妙な質問です。（共有してもかまわない場合）これらの特定のポリトープを見る動機はありましたか？それとも偶然偶然見つけたものですか？

— John Machacek 2017

@JohnMachacek私は、任意の分布から線形部分空間を選択し、部分空間の要素をランダムに均一に選択することから生じる

分布を特徴づけようとしていました。これは、上記のポリトープを実行可能領域として持つ双対を持つカバーLPとして表現できます。このような興味深い状況でたまたま不可欠であるという事実は、tcs.seと共有できないほど面白そうに思えました。

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

— Andrew Morgan

@AndrewMorganなぜポリトープは自然なのか、それとも実用性があるのですか？座標

は

サイズのみをキャプチャします。

x_{i}

$x_i$

G

$G$

— T ....

アンドリュー（アスカー）と私はこれを電子メールで話し合ったが、推測が間違っていることを示した。ポリトープは、アーベル群にとっては不可欠ではなく、循環群にとっても不可欠ではありません。

肯定的な面で。

定理：順序を有する環状基の場合、及び素数とされている、要素およびサブグループの入射マトリクスが完全ユニモジュラあります。 $p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

これは、サブグループのファミリーが2つの層流ファミリーの和集合であるためです。

したがって、これは、循環グループの最小の反例が少なくとも次数でなければならないことを示しています。これは実際、小さな反例が見つからなかった理由を説明しています。 $2\times 3\times 5 =30$

Andrewはいくつかの計算を実行し、次数循環グループの反例を見つけました。 $30$

反例：、 $x_0=1/2$ 、 $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ 、 $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ 、および他の場所。ポイントが実行可能かどうかを確認することは難しくありません。ここでは、これが実際には頂点であるというAndrewの証明を言い換えます。厳しい制約があります。グループ全体の制約によって生成3つのサブグループ及びをそれぞれ、及び非負制約。個の変数があるため、は頂点です。 $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

ポリトープがすべての整数であるかどうか疑問に思うかもしれません。残念ながら、Andrewはポリトープの非整数型も発見しました。 $\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— チャオ・スー
ソース