グループアクションの観点からのガウス消去

ガウス消去法により、行列多項式時間の行列式が計算可能になります。そうでなければ指数項の合計である行列式の計算の複雑さの低減は、代替の負の記号の存在によるものです（その欠如により、計算が永続的になりますつまりN P -$\#P\mbox{-}hard$$NP\mbox{-}C$問題） 。これは、行列式に何らかの対称性をもたらします。たとえば、行または列のペアを交換すると、符号が逆になります。おそらく、Valiantによって導入されたホログラフィックアルゴリズムに関連して、ガウスの消去法はグループアクションの観点から説明でき、これが複雑さの軽減の一般的な手法につながることをどこかで読みました。

また、計算上の問題に対する複雑さの削減のほぼすべての原因は、何らかの対称性が存在していると感じています。本当ですか？グループ理論の観点からこれを厳密に形式化できますか？

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参照を見つけました。（pg 2、2番目の段落の最終行）。論文を正しく理解していませんでした。質問が論文の誤った理解に基づいている場合は、修正してください。

行列式の場合には、ガウスの消去が実際に決定基は、（特定の形態の）大きな対称性基を有するという考えと同等と見なすことができると、その対称性基を特徴とする（他の均質度意味の多項式N 2変数これらの対称性は行列式のスカラー倍数でなければなりません）。（そして、@パーマネントの対称性はパーマネントの対称性が効率的にそれを計算するのを助けていないようだという@伊藤剛氏のポイントに関して：パーマネントはその対称性によっても特徴付けられるが、その対称性グループは行列式のそれよりはるかに小さい。）$n$$n^2$

これについての記事を見つけることができます-行列式の対称性がガウス消去を行うために使用され、行列式がその対称性によって特徴付けられることを証明する方法に沿って- 私の論文の命題3.4.3 （恥知らずな自己プラグ-また、OPが求めていたので、これがまったくこのように表現され、完全に詳細に書かれたのを見たことはありませんが、完了したと確信していますが、他の参照があれば幸せです）。

対称性が常に複雑さの低減につながる（またはそうでない）という考えについては、すでにコメントにあるものに加えて、この質問とその回答を参照してください。

興味深い点は、現在のヴァリアントの代数的複雑性理論として知られているものに関するヴァリアントの最初の論文で、行列式が重要な理由の1つは、ほぼすべての（そして）既知の効率的なアルゴリズムが線形代数と、そこから行列式の計算、例えば平面グラフのマッチングを数えるためのFKTアルゴリズムに縮小。これはもちろん誇張ですが、ホログラフィックアルゴリズムの研究によって支持され続けています。ホログラフィックアルゴリズムは、しばしばPfaffian（行列式の近縁）の計算に帰着します。確かにこれは誇張であることをヴァリアントは知っていましたが、私が誤って伝えていないことを確認するための正確な引用を以下に示します（L.ヴァリアント。代数の完全性クラス。ACM STOC 1979）。

主な結論は、大まかに次のように要約できます。

（a）線形代数は、中程度の多変量多項式を計算するための本質的に唯一の高速な手法です。

（b）...

問題の対称性が複雑さを特徴づける（と思われる）場合があります。非常に興味深い例の1つは、制約充足問題（CSP）です。

CSPの定義

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

多型

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

$f(x, y) = x$

多型と複雑性（二分法の推測）

$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

複雑性理論の主要な未解決の問題は、CSPの硬度を特徴付けることです。FederとVardiの二分法の推測は、CSPはPまたはNP完全であると述べています。推測は、ポリモーフィズムに関する記述に縮小することができます。CSPが認める唯一のポリモーフィズムが「独裁者」である場合にのみ、それがNP困難です（それ以外の場合はPにあります）。すなわち、CSPは、古いソリューションから真の新しいソリューションを形成するローカルな方法がない場合にのみ困難です。if部分（硬さ）はわかっていますが、if部分（ポリタイムアルゴリズムの設計）は開いています。

$U = \{0, 1\}$

多型、普遍代数、および二分法の推測について詳しく読むには、Bulatovによる調査をご覧ください。

多型と近似可能性

また、プラサド・ラガベンドラによるIAS講義をお勧めします。結果を同様のフレームワークでのユニークなゲーム推測を想定して、あらゆるCSPの最適な近似性を提供します。高レベルでは、CSPのすべての多型（近似問題を処理するために一般化する必要がある）が独裁者に近い場合、CSPを使用して、関数が独裁者かどうかをテストする方法を設計できます。ユニークなゲームからの近似の削減の硬さを与えるために必要なすべてである。これにより、結果の難易度が決まります。アルゴリズムの方向は、CSPが独裁者からかけ離れたポリモーフィズムを持っている場合、不変性の原理（中心極限定理の一般化）を使用して、SDP丸めアルゴリズムが適切な近似を与えると主張することです。アルゴリズムの部分の本当に大ざっぱな直観：独裁者とはかけ離れたポリモーフィズムは 変数の割り当て（引数の分布）または変数の割り当ての分布を局所的に近似するガウス確率変数として与えられているかどうかに注意してください。これは、中央限界定理により、小さな分散をもつ離散確率変数または同じ分散をもつガウスrvが与えられた場合、和関数が「気にしない」のと同じ方法です。必要なガウス確率変数は、CSP問題のSDP緩和から計算できます。そこで、独裁者とはかけ離れたポリモーフィズムを見つけ、ガウスサンプルを与えて、良い解決策を取り戻します。中心極限定理により、小さな分散の離散確率変数または同じ分散のガウスrvが与えられた場合。必要なガウス確率変数は、CSP問題のSDP緩和から計算できます。そこで、独裁者とはかけ離れたポリモーフィズムを見つけ、ガウスサンプルを与えて、良い解決策を取り戻します。中心極限定理により、小さな分散の離散確率変数または同じ分散のガウスrvが与えられた場合。必要なガウス確率変数は、CSP問題のSDP緩和から計算できます。そこで、独裁者とはかけ離れたポリモーフィズムを見つけ、ガウスサンプルを与えて、良い解決策を取り戻します。