対称群の表現理論の応用

この質問、特にOrの回答の最後の段落に触発されて、次の質問があります。

TCSの対称群の表現理論の応用を知っていますか？

対称グループ$S_n$は、グループ演算構成を持つのすべての順列の$\{1, \ldots, n\}$グループです。表現$S_n$から準同型である$S_n$可逆の一般線形群に対して$n \times n$複雑なマトリックス。表現は行列の乗算により作用し$\mathbb{C}^n$ます。の既約表現は$S_n$、$\mathbb{C}^n$不変の適切な部分空間を残さないアクションです。有限群の既約表現により、定義することができます非アーベル群上のフーリエ変換。このフーリエ変換は、巡回/アーベル群上の離散フーリエ変換の優れた特性のいくつかを共有しています。たとえば、畳み込みはフーリエ基底の点ごとの乗算になります。

対称群の表現理論は美しく組み合わせられています。各既約表現は$S_n$、整数分割に対応し$n$ます。この構造および/または対称群のフーリエ変換は、TCSで用途を見つけましたか？

他の例をいくつか示します。

1. DiaconisとShahshahani（1981）は、ほぼ均一な順列を生成するためにいくつのランダム転置が必要かを研究しました。彼らは1/2 n log（n）+/- O（n）の鋭い閾値を証明した。ランダム転置によるランダム順列の生成。

2. Kassabov（2005）は、対称群に有界次数展開器を構築できることを証明しました。対称グループと展開グラフ。

3. Kuperberg、Lovett and Peled（2012）は、kタプルに均一に作用する順列の小さなセットが存在することを証明しました。剛性の組み合わせ構造の確率的存在。

$S_n$$H_0(S_n)$$(\min,+)$

A.ティスキン。準ローカル文字列比較：アルゴリズム手法とアプリケーション。 http://arxiv.org/abs/0707.3619

私が知っている1つの例を次に示します。

「コミュニケーションの複雑さにおける「ログランク」推測について」、R.Raz、B.Spieker、

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588 

まだまだあると思います。

量子コンピューティングの例を次に示します。

ローランド、ジェレミー; Roetteler、マーティン; マグニン、ロイック; Ambainis、Andris（2011）、「量子状態生成のための対称支援敵」、計算複雑性に関する2011 IEEE 26th Annual Conferenceの議事録、CCC '11、IEEE Computer Society、pp。167–177、doi：10.1109 / CCC。 2011.24

彼らは、インデックス消去と呼ばれる特定の問題の量子クエリの複雑さは、対称グループの表現理論を使用して、量子敵対法にプラグインする最適敵対行列を構築するを示します。$\Omega(\sqrt{n})$

1. The Art of Computer Programmingの Knuth第3巻は、検索と並べ替えに重点を置いており、組み合わせ論と順列、および対称群の表現理論の中心であるロビンソン-シェーンステッド-クヌースの対応に重点を置いています。

2. Ellis-Friedgut-PilpelおよびEllis-Friedgut-Filmusによるいくつかの論文があり、調和解析を使用して極値の組み合わせ問題を解決します。完全にTCSではないが、非常に近い。$S_n$

3. Ajtaiは90年代前半に、計算の複雑さの質問に動機付けられたモジュラー表現に関して素晴らしい結果を出しました。詳細や公開されたかどうかは覚えていませんが、これは熟読する価値があります！$S_n$

対称群は、ムーア、ラッセル、シュルマンによる強力なフーリエサンプリングを定義しません。

「対称グループ上の隠れサブグループ問題は、強力なフーリエサンプリングでは効率的に解決できないことを示しています。これらの結果は、グラフ同型問題に関連する特別な場合に当てはまります。」

QMアプローチを介してグラフ同型問題を解決することに関連して

sec 5対称群の表現論

コンピューターサイエンスよりも多くの統計情報がありますが、それでも興味深いものです。確率と統計のグループジェプションに関するDiaconisのモノグラフの第8章では、グループ関連するデータのスペクトル分析手法が開発されています。これは、自然のが実数または加算中の整数である、たとえば時系列データのより古典的なスペクトル分析を拡張します。ランキングによってデータが提供されている場合、をにすることは理にかなっています。モノグラフは、ランキングデータのフーリエ係数の解釈に使用されます。その場合、データセットはスパースG G S n f ：S n → R$G$$G$$G$$S_n$$f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ ランキングを（順列により与えられた）ランキングを、ランキングを好む人口の割合にマッピングします。

また、同じ章では、ANOVAモデルとテストを導出するために、対称グループと他のグループのフーリエ解析が使用されます。

これの自然な拡張は、ブーリアンキューブのフーリエ解析から恩恵を受けた均一分布下のバイナリ分類の学習理論と同様に、表現理論手法の恩恵を受けるランキング問題の統計学習理論です。

対称群の表現理論は、行列式または行列乗算の下限に対する幾何学的複雑性理論アプローチで重要な役割を果たします。

• BürgisserとIkenmeyerは、表現理論を使用して、行列乗算の境界ランクの下限を証明します。$S_n$

• の表現理論が行列式の下限にどのように関係するかについては、幾何学的複雑性理論II：クラス多様体間の埋め込みの明示的障害と幾何学的複雑性理論VI：陽性によるフリップを参照してください。$S_n$

• Huangs Phdの論文、確率論的推論と順列の学習：対称グループの構造的分解の活用。アプリケーションは「実際のカメラベースの複数人追跡シナリオ」です。

• 黄、Guestrin、Guibasによる順列上のフーリエ理論の確率的推論。Journal of Machine Learning Research 10（2009）997-1070。例5を参照してください。5。対称グループの表現理論

• 別のマルチトラッキングアプリケーションペーパー。Kondor、Howard、Jebaraによる対称グループの表現によるマルチオブジェクト追跡（2007）

• フーリエ係数を用いた順列上の確率分布の学習、イルロスキ、カルボ、ロザノ（CS / AI部門）。sec 2対称グループのフーリエ変換を参照してください

KlinおよびPechによるグラフの色多項式の計算のための対称グループの表現理論の適用

1997年にBealsが引用したこの論文は、対称群上のフーリエ変換の量子計算が BQP、つまり量子多項式時間であることを証明しているようです。

古い例ですが、まだ最近/進行中の研究では、この理論の一部は、対称グループの要素と見なされ、当時有名な発見であった「完全シャッフル」の数学に現れています。[1]は、並列処理アルゴリズムへの完全なシャッフルの適用、およびCooley-Tukey O（n log n）DFTへの接続について言及しています。[2]は最近のものです。完璧なシャッフルは、並列処理[3]、メモリ設計、およびソートネットワークに現れます。

[1] Diaconis、Graham、Cantorによる完璧なシャッフルの数学。1983

[2] エリス、ファン、シャリットによるマルチウェイ完全シャッフル順列のサイクル（2002）

[3] 1971年のStoneによる完全シャッフルによる並列処理

[4] オメガネットワークの完璧なシャッフリングに基づきます

[5] インボリューションを使用した並列および順次インプレース置換および完全シャッフル Yang et al（2012）