頂点推移グラフの認識の複雑さ

私はグループが関与する複雑性理論の分野に精通していないので、これがよく知られた結果である場合は謝罪します。

質問1.レッツオーダーの単純無向グラフとするn個。Gが頂点推移的であるかどうかを判断する計算の複雑さ（nに関して）$G$$n$$n$$G$

A u t（G ）がV （G ）に対して推移的に作用する場合、グラフは頂点推移的であることを思い出してください$G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

上記の定義が多項式時間アルゴリズムを許可するかどうかはわかりません。なぜなら、次数は指数関数的だからです。$\mathrm{Aut}(G)$

しかし、頂点推移グラフには、それらを効率的に決定するために利用される可能性のある他の構造的特性がいくつかあるため、上記の質問の状況はわかりません。

さらに多くの構造を持つ頂点推移グラフのもう1つの興味深いサブクラスは、Cayleyグラフのクラスです。したがって、次の関連する質問も提起するのが自然です

質問2.グラフがCayleyグラフである場合、決定の計算の複雑さは何ですか？$G$

完全な答えはありませんが、両方の問題は未解決だと思います。

Jajcay、Malnič、Marušič[3]による論文は、最初の質問に関連しています。それらは、頂点推移性をテストするためのツールを提供します。彼らは序文で次のように言っています：

与えられた有限グラフについて、Γが頂点推移的であるかどうかを決定することは明らかに困難であり、通常、最終的な答えは、Γの完全な自己同型群のかなりの部分が決定された後でのみ得られます。$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

頂点の推移性テストは、グラフの同型を回テストすることで実行できることに注意してください。作る二つのコピーG及びG '特別なアンカーを有する（長さの経路のようなあなたのグラフの、N + 1で）U ∈ V （G ）とV ∈ V （G '）。元のグラフにuからvへの自己同型写像​​がある場合にのみ、GとG ′の間に同型が存在します。したがって、頂点を修正することで頂点タンシビリティをテストできます$n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$、および xを他のすべての頂点にマッピングする自己同型性があることを確認します。$x$$x$

頂点遷移テストが多項式時間で実行できる場合、頂点遷移グラフの同型テストも実行できることに注意してください。これは、2つの頂点推移グラフが同型であるのは、それらの互いに素な結合が頂点推移である場合にのみであるためです。頂点推移グラフのグラフ同型の複雑さは知られていないと思います。

2番目の質問では、部分的な結果が見つかりました。巡回グラフは、環状基にケーリーグラフです。EvdokimovとPonomarenko [2]は、巡回グラフの認識は多項式時間で行えることを示しています。また、Alspachの本の章[1、Chapter 6：Cayley graphs、Section 6.2：Recognition]も興味深いでしょうが、

任意のグラフがCayleyグラフであるかどうかを認識するという計算上の問題は無視します。代わりに、Cayleyグラフは、接続セットとともに、それらが構築されるグループの観点から記述されていると常に想定しています。ほとんどの問題では、これは欠点ではありません。

1. ベイネケ、ウィルソン、キャメロン。代数グラフ理論のトピックス。2004年ケンブリッジ大学出版局。
2. エヴドキモフ、ポノマレンコ。循環グラフ：多項式時間での認識と同型テスト。サンクトペテルブルク数学。J. 15（2004）813-835。doi：10.1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay、Malnič、Marušič。頂点推移グラフにおける閉じたウォークの数について。離散数学。307（2007）484-493。doi：10.1016 / j.disc.2005.09.039