グループ同型問題の最も難しい例は何ですか？

2つのグループ$(G,\cdot)$と$(H, \times)$は、$G$から$H$への準同型（全単射）が存在する場合、同型であると言われます。グループ同型問題は次のとおりです。2つのグループを指定して、それらが同型であるかどうかを確認します。グループを入力する方法はいくつかありますが、主に使用されるのは、Cayleyテーブルと生成セットの2つです。ここでは、入力グループがCayleyテーブルで指定されていると想定しています。より正式には：

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ 2つのグループ$(G,\cdot)$および$(H,\times)$。

$\textbf{Decide : }$ある$G \cong H$？

私たちはその仮定しよう$n = |G| = |H|$

入力グループがCayleyテーブルによって与えられたときのグループ同型問題は、一般に$\textbf{P}$にあることはわかっていません。問題が多項式時間であることが知られているアーベルグループクラスのようなグループクラスがありますが、アーベルグループの拡張であるグループ、単純なグループなどがあります。無力クラス2グループの場合でも、ブルートフォースよりも優れたアルゴリズムはありません。知られている。

グループ同型のブルートフォースアルゴリズムは、Tarjanによって次のように提供されています。ましょう$G$及び$H$二つの入力基であり、およびlet $S$グループの発電装置である$G$。すべての有限群が$\mathcal{O}(\log n)$サイズの生成セットを受け入れ、それが多項式時間で見つかることはよく知られている事実です。GからHへの準同型での生成セット$S$の画像の数はn log n manyです。次に、可能な各準同型が全単射かどうかを確認します。全体的なランタイムはn log nになります$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$。

まず、グループ$G$中心を定義しましょう。

$Z(G)$グループの要素意味$G$グループのすべての他の要素と通勤$G$。そのためグループ$G/Z(G)$（/商のために使用される）はアーベルでは冪零クラス二つのグループとして知られています。私には、無能なクラス2のグループが、グループ同型問題を解決するのが最も難しいインスタンスであるように見えます。「最も難しいインスタンス」の意味は、そのケースを解決することで、グループ理論で作業する研究者が多数のグループの同型問題を解決できるようになります。

最初は、単純なグループはすべてのグループのビルディングブロックであるため、最も難しいインスタンスであると思いましたが、後で、単純なグループの同型問題が$\textbf{P}$あることを知りました。

質問：グループ同型問題の最も難しい例は何ですか？

$p$$p$$p > 2$$p=2$

0）実務経験（GAPおよびMAGMAに実装されているアルゴリズムを提供する、Newman、Eick、O'Brien、Holt、Cannon、Wilsonなどの論文を参照）。

$p$$\mathbb{F}_p$$\mathsf{TI}$$p$$p$$c < p$$p$$p$

$p$$Rad(G)$$G/Rad(G)$$Rad(G)$$n^{O(\log \log n)}$$n^{\log n}$$p$$p$

$n$$\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$$\mu(n)$$n$$p$$n=p^m$$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$$p$$p$$\leq n$$p$$n \to \infty$

$p$$p$

$p$$p$$p$$p$$p$$c < p$