アーベルの隠れサブグループ問題に対する量子アルゴリズムの理解の難しさ

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AHSPアルゴリズムの最後のステップを理解するのが困難です。ましょう $G$ アーベル群とすることが $f$ サブグループ隠し関数である。してみましょうのデュアルグループ表す。 $H$ $G^*$ $G$

アルゴリズムの手順は次のとおりです

最初に状態を準備し、

$\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$ 。
そして、評価量子オラクル適用上の、私たちが得ます $f$ $I$

$\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$ 。
次に、 2番目のキュービットを測定します。 $I'$

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

一部の。 $r \in G$
最初のキュービットに量子フーリエ変換を適用すると、次のようになります

$\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$ 、

ここで、。 $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

状態から、グループジェネレーターを取得するにはどうすればよいですか？ $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— user774025
ソース

Andrew ChildsのAHSPに関する講義ノートを読むことを強くお勧めします。彼らはで利用可能ですmath.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— ロビン・コタリ

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この古典的な後処理は、アーベル群のいくつかの非自明な群理論的性質を活用します。ここで、この古典的なアルゴリズムがどのように機能するかについての教訓的な説明を書きました[1] ; 約読み取るために他の良いソースは[あり2、3、4 ]。

したがって、アルゴリズムの最後で標準ベースで測定すると、要素が一様にランダムに得られます。集合が文字グループ（有限アーベル）サブグループであることを確認するのは難しくありません。そのため、測定値が丸められた後、生成セットが1に指数関数的に近い確率で取得されます。 $H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

最も技術的な部分は、生成セットを指定してを再構成する方法です。これからこの問題に焦点を当てましょう。このためには、性格理論からの基礎が必要です。 $H$ $H^{*}$

キャラクター理論

まず、ときに、それを覚え有限アーベルで、文字が同型グループ形成彼らのように書くことができること、および $G$ $G$

χ_{g} (h) = \exp (2 π i \sum_{i = 1}^{m} \frac{g (i) h (i)}{d_{i}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$ ラベル文字の

の要素である

。地図は

定義との間の同型

および

、私たちは両方のグループを識別することができます。

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

$H$ $H^*$ $H$ $H$

$H^*$ $G$
$H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$
$χ_{g} (h) = 1, for every g \in H^{*}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

グループ上の線形方程式

$X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (x) = b

$\alpha(x)=b$

A

$A$ 、上記の問題をここでと仮定します。

A x = (\begin{matrix} a_{1} (1) & a_{2} (1) & \dots & a_{n} (1) \\ a_{1} (2) & a_{2} (2) & \dots & a_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{1} (m) & a_{2} (m) & \dots & a_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix} = b

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

最後の重要な観察結果は、これらのシステムが解決策を受け入れ、それらを数え、見つけるかどうかを決定する効率的な古典的アルゴリズムが存在することです（[1]で調査します）。解の集合は常にの形式です。ここで、は特定の解であり、は（サブグループ）のカーネルです。これらの古典的なアルゴリズムは、システムの特定の解を見つけて、生成セットを計算できます。これらの古典的なアルゴリズムは、Smith Normal Formsを重要に使用します $x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ システムをほぼ対角形式に書き換える（他のいくつかの中間ステップが必要ですが、それは直感的な画像を提供するはずです）。

ケースで取得する連立方程式は、非表示のサブグループ エンコードします。特に、一部のグループ準同型の場合、形式はです。のカーネルは、まさに隠されたサブグループです。その場合の特定の解決策は0であり、取るに足らないものです。 $H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— フアン・ベルメホ・ベガ
ソース

2

手順4の後、計算ベースでを測定すると、1つのがランダムに得られます。 $I_m$ $\chi \in G^*$

次に、与えられたすべてのステップを回繰り返して、二重グループの文字のリストを取得します。この文字のリストは、デュアルグループサブグループを生成します。 $n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

次に、すべての可能なサブグループを（古典的に）チェックして、がであるサブグループを見つけます。 $H$ $H^*$ $K$

固定これは常に一意の一致ではないため、縮退がある場合は最大の一致を選択します（単純なサブグループはすべての文字のリストに一致するため）。 $n$

— WJ g
ソース