タグ付けされた質問 「gr.group-theory」

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順列グループアルゴリズムの最近の進歩？
GAPパッケージに実装されている有限グループのアルゴリズムに興味があります。この分野のすべての既知のアルゴリズムは順列グループ/行列グループを扱うようです。2つの基本的なものは、Schreier-Sims [1970]とButler [1979]です。たとえば、可能な参照（？）として、Alice Niemeyerによる「順列グループのアルゴリズム」を参照してください。 したがって、過去50年間にこの分野で大きな進歩があったのかと思いました。ユーザーNisaiVlootが組み換えグループについていくつかの質問をし、置換グループに関する既知の結果の興味深い拡張を構成している可能性があることを確認しました。 -最近の同期。
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生成セットと除外された要素のセットを使用して順列のセットをエンコードする
多項式時間アルゴリズムは、置換グループの生成セットを見つけることで知られています。これは、これらのグループに関連する多くの興味深い質問に答えるために多項式時間アルゴリズムをあきらめることなく、それらのグループを簡潔に表すことができるので興味深いです。 しかし、我々は時々セットに興味があるかもしれ集合により表現されるように、グループを形成しない順列のR = ⟨ S ⟩ ∖ Tここで、⟨ S ⟩がセットによって生成されたグループであるSジェネレータとTは、ある順列の集合でないにR代わりだけで、⟨ S ⟩。RRRR = ⟨ S⟩ ∖ TR=⟨S⟩∖TR=\langle S\rangle \setminus T⟨ S⟩⟨S⟩\langle S\rangleSSSTTTRRR⟨S⟩⟨S⟩\langle S\rangle そのようなエンコーディングをペアの形で計算する作業が行われましたか。おそらく最小化という追加の自然な目標があります。S | + | T | ？{S,T}{S,T}\{S,T\}|S|+|T||S|+|T||S|+|T|
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ランダムなブール関数に自明自明群がある確率はどのくらいですか？
ブール関数与えられると、自己同型群ます。fffAut(f)={σ∈Sn ∣∀x,f(σ(x))=f(x)}Aut(f)={σ∈Sn ∣∀x,f(σ(x))=f(x)}Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \} 既知の境界はありますか？いくつかのグループという形式の数量について何か知っていますか？Prf(Aut(f)≠1)Prf(Aut(f)≠1)Pr_f(Aut(f) \neq 1)Prf(G≤Aut(f))Prf(G≤Aut(f))Pr_f(G \leq Aut(f))GGG
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グラフ同型のグラフの自己同型の数
LETおよび 2つのでありサイズの-regular接続グラフ。LET順列の集合ように。場合、はの自己同型のセットです。GGGHHHrrrnnnAあAPPPPGP−1=HPGP−1=HPGP^{-1}=HG=HG=HG=HAあAGGG サイズの最もよく知られている上限は何ですか？ 特定のグラフクラス（完全/サイクルグラフを含まない）の結果はありますか？AあA 注：自己同型グループの構築は、グラフの同型問題を解くのと同じくらい（計算の複雑さに関して）困難です。実際、自己同型性を数えることだけが多項式時間であり、グラフ同型性に相当します。
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量子後の一方向グループアクションの候補者はいますか？
効果的な方法が知られている、実行されているセット内の指定された要素を持つ 既知のグループアクションのファミリがありますか？ \: グループから（本質的に均一に）サンプリングし、逆演算を計算し、 \: グループ操作を計算し、グループアクションを計算する そして、 無視できない確率で成功するための効率的な量子アルゴリズムは知られていない \: 入力として与えられたグループアクションのインデックスとの結果 \: 指定された要素に作用するサンプリングされたグループ要素、 \: 指定された要素に対するアクションが2番目の入力であるグループ要素を見つける ？ 私が知る限り、これらは非対話型の統計的に非表示のコミットメントの唯一の既知の構造を提供します。トラップドアの知識は、ゼロ知識プロトコルと適応型セキュリティに役立つプロパティである効率的で検出不可能な等価を可能にします。 最初の3つのプロパティ（この投稿の3行目と4行目から）を持つ一方向グループ準同型のファミリーは、ドメインを介してコドメインに作用させることにより、そのようなものに変換できます。 ⟨a,b⟩↦h(a)⋅b⟨a,b⟩↦h(a)⋅b\: \langle a,b\rangle \mapsto h(a)\cdot b \:、 \: 識別要素としてアイデンティティ要素を使用します。 Pedersenコミットメントスキームの制限付きバージョンは、上記の変換をグループ指数準同型に適用する特別なケースとして取得できます。その一方向性は、離散対数問題の硬度と同等ですが、量子アルゴリズムでは難しくありません。（Shorのアルゴリズムとそのページの離散対数に関するセクションを参照してください。）
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要素が軌道上で最小かどうかを判断するための最も効率的なアルゴリズムは何ですか？
グループ所与集合に作用するX全順序で≤とをX ∈ X、もし判断、言い換えれば、xはその軌道に少なくとも要素であるか否かを決定するための最も効率的なアルゴリズムが何であるかを、M I nは、（G x ）= x？GGGXXX≤≤\leqx∈Xx∈Xx\in Xmin(Gx)=xmin(Gx)=x min(Gx) = x 私の動機は、自動的に対称性を壊すことにある程度の関心があったSMT解法にあります。対称性を破る述語を追加すると、多くの場合、節のセットが大きくなります。そのため、これを遅延理論の伝播として扱う可能性に興味があります。 上記の説明は一般的すぎる可能性があり、sidで言及されているようにNP-hardです。可能な単純なタスクは、ジェネレーターのセットとしてエンコードされた長さの文字列の順列のグループと長さnの文字列xが与えられた場合です。その文字列がその軌道上で辞書的に最小かどうかを決定するための最も効率的なアルゴリズムは何ですか？nnnxxxnnn
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