ランダムなブール関数に自明自明群がある確率はどのくらいですか？

ブール関数与えられると、自己同型群ます。$f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

既知の境界はありますか？いくつかのグループという形式の数量について何か知っていますか？$Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

はい。最初の質問では、確率は二重指数関数的に速くゼロになります。これは次のように計算できます。順列ごとに、、つまりすべてのである確率を制限できます。作用するの軌道を考えます。我々はそれを持っているの自己同型である IFFに一定である -orbits。場合自明であり、それは上の少なくとも一つの軌道有するシングルトンないので、上の軌道上の少なくとも$\pi$$\pi \in Aut(f)$$f(\pi(x)) = f(x)$$x \in \{0,1\}^n$$\pi$$\{0,1\}^n$$\pi$$f$$f$$\pi$$\pi$$[n]$$\{0,1\}^n$それはシングルトンではありません。軌道に要素があるとします。したがって、その軌道上でが一定である確率は、正確にです。仮定に作用有する固定点、長さ2、等のサイクル（特に）。その場合、によって固定されるのポイント数は正確にです。の残りの点はすべて自明でない軌道にあります。の確率の上限$k$$f$$2^{-(k-1)}$$\pi$$[n]$$c_1$$c_2$$\sum_{i=1}^n i c_i = n$$\{0,1\}^n$$\pi$$2^{\sum_i c_i}$$\{0,1\}^n$$\pi$$\pi \in Aut(f)$、最も可能性が高いのは、すべての非固定要素がサイズ2の軌道に入っている場合であることに注意してください。したがって、ここで、です。ここで、下限が必要です。つまり、上限が必要です。以来、、最大できる場合である及び、すなわち及びなので、およびです。次に、結合範囲を適用します。$\{0,1\}^n$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$$M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$$M$$\sum_i c_i$$\pi \neq 1$$\sum c_i$$c_1 = n-2$$c_2 = 1$$\sum c_i = n-1$$M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$$M \geq 2^{n-1}$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$$|S_n| = n!$、、基本的であるとしてかなり迅速に、。$Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$$2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$$n \to \infty$

任意のについて、同様の推論を使用できますが、確率も非常に速くゼロになります。$G \leq S_n$