要素が軌道上で最小かどうかを判断するための最も効率的なアルゴリズムは何ですか？

グループ所与集合に作用する全順序でとを、もし判断、言い換えれば、xはその軌道に少なくとも要素であるか否かを決定するための最も効率的なアルゴリズムが何であるかを？ $G$ $X$ $\leq$ $x\in X$ $min(Gx) = x$

私の動機は、自動的に対称性を壊すことにある程度の関心があったSMT解法にあります。対称性を破る述語を追加すると、多くの場合、節のセットが大きくなります。そのため、これを遅延理論の伝播として扱う可能性に興味があります。

上記の説明は一般的すぎる可能性があり、sidで言及されているようにNP-hardです。可能な単純なタスクは、ジェネレーターのセットとしてエンコードされた長さの文字列の順列のグループと長さの文字列が与えられたです。その文字列がその軌道上で辞書的に最小かどうかを決定するための最も効率的なアルゴリズムは何ですか？ $n$ $x$ $n$

ds.algorithms gr.group-theory

— ハスケルエレファント
ソース

あなたは有限集合Xについて話していると思いますか？これを決定するのはNP難しいと思います。LET

と巡回セールスマン問題の都市の集合のツアーである

。グループ

対称グループ

ます。次に、軌道はすべての可能なツアーであり、それらの1つが最小であることを証明することはNP困難です。

X = {c_{1}, \dots, c_{n}}

$X=\{c_1,\dots,c_n\}$

c_{1} \to c_{2} \dots

$c_1 \rightarrow c_2 \dots$

G

$G$

S_{n}

$S_n$

— 2011

@シド、はい、私はXが有限である場合にのみ興味があり、私はそれを考えていませんでしたが、確かにNP困難です。効率的なモンテカルロアルゴリズムの可能性はまだあると思います。

— HaskellElephant

最小値に別の基準を使用する場合は多項式になりますが、辞書順で最小のツアーを見つけるのは簡単です（少なくとも、すべてのエッジに異なるラベルがあると想定している場合、それ以外の場合はNP困難です）。

— Peter Shor

@PeterShor、はい、実際、私の目的のために、あらゆる標準的な形式で十分です。

— HaskellElephant

G

$G$

X

$X$

G

$G$

$NP$ $P^{NP}$

$NP$ $NP \cap coAM$ $NP$

$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$

$P$ $P$ $NP = UP = RP$ $BPP$ $P$ しかし、この結果は、それがより複雑なクラスにある場合でも、他の難しい問題が依然としてあなたの邪魔になる可能性があることを示唆しています。

したがって、より良い上限が必要な場合は、問題をより具体的にする必要があります。

[1]アンドレアスブラスとユーリグレビッチ。等価関係、不変量、および正規形。SIAM J. Comput。13：4（1984）、24-42。

[2]ラスロババイとユージーンM.ルクス。グラフの標準的なラベル付け。STOC 1983、171-183。

[3]ランスフォートナウとジョシュアA.グローホー。同等性問題の複雑性クラスが再考されました。通知します。と計算。209：4（2011）、748-763。arXiv：0907.4775v2としても入手できます。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

P E q = C F

$PEq=CF$

私の知る限りではありません。せいぜい、組み合わせ同型の問題はすべてKer（FP）にあることを意味します。1つの問題は、グラフの標準形が、最初に開始した構造の標準形を生成する必要がないことです。他の問題は、組み合わせ同型が必ずしもPEq完全であるとは限らないことです。PEq完全な問題があるかどうかを尋ねました。FinkelsteinとHescottは、PHの上位CのCEq完全問題を示しましたが、PEq完全問題の存在についての疑問を残しました。

— Joshua Grochow

PEqに完全な問題が存在することは、PHがある程度のレベルまで低下していることを意味する可能性がありますか？

— T ....

@ターボ：確かに、私には少しありそうにありません。あるクラスの完全な問題の存在がPHの崩壊を意味する例を知っていますか？（PH完全問題以外。）（a）PEq完全問題が存在する（そして、主要な予想に矛盾しない）、それらを構築する方法がわからない、または（b）そこにある可能性が高いと思いますオラクルはPEq完全問題の存在について双方向に進んでいます。（b）PEqは本質的にセマンティッククラスであるため、BPPとの類推によって、私にはより可能性が高いようです。

— Joshua Grochow