グラフ同型のグラフの自己同型の数

LETおよび 2つのでありサイズの-regular接続グラフ。LET順列の集合ように。場合、はの自己同型のセットです。 $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

サイズの最もよく知られている上限は何ですか？特定のグラフクラス（完全/サイクルグラフを含まない）の結果はありますか？ $A$

注：自己同型グループの構築は、グラフの同型問題を解くのと同じくらい（計算の複雑さに関して）困難です。実際、自己同型性を数えることだけが多項式時間であり、グラフ同型性に相当します。

— ジム
ソース

Wormaldの場合に示されている接続されている 2n個の頂点を持つ-regularグラフその後の同型の数分割。特に、これは正規の場合に重要な指数の上限を与えます。たぶん、一般的な正規グラフのこの行に結果があるでしょう。 $G$ $3$ $G$ $3n\cdot 2^n$ $3$ $k$

下限については、式検討用いてゲートが付加されている入力ファンイン2.その後のresut使用のゲートトラン構築することができるものを -regularグラフと自己同型グループがすべての可能な評価をエンコードする頂点。これは、自己同型の数が少なくともであることを意味します。これは、頂点の数の関数として、正則グラフの自己同型の数に指数的な下限があることを示しています。 $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— マテウスデオリヴェイラオリヴェイラ
ソース

次のグラフを検討してください。1.

通常のグラフと

通常のグラフ（完全なグラフもサイクルグラフもない）は、E個のエッジを介して互いに結合されています。この結合されたグラフは不規則なグラフ

2.それぞれです。

正則グラフの頂点には、

正則グラフのエッジがあります。

レギュラーグラフと同じ数のエッジを持つ

レギュラーグラフの2つの頂点はありません。Gの自己同型は指数関数的ですか？

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— ジム

はい。グラフG2は指数関数的な自己同型の数を持つことができます。H1を、1 ... nの番号が付けられたn個の頂点を持つ任意のr1正規グラフとする Dをダイアモンドグラフ、つまり、以前は隣接していなかった2つの頂点を接続するエッジを持つ4サイクルとする。これら2つの頂点がDの内部頂点であるとしましょう。他の2つの頂点はDの外部頂点です。明らかに、両方の内部頂点を交換し、外部頂点をそのままにしておくオートモーフィズムがあります。

— Mateus de Oliveira Oliveira

ここで、1からn（n + 1）/ 2までの番号が付けられたn（n + 1）/ 2の頂点を持つ2つのサイクルC1およびC2の素結合を考えてみましょう。diamodグラフのn（n + 1）/ 2コピーも考慮してください。次に、各iについて、D_iの外部頂点の1つをC1のi番目の頂点に接続し、他の外部頂点をC2のi番目の頂点に接続します。この場合、このプロセスで取得されるグラフH2は3正則であり、各D_iの内部頂点を個別に交換できるため、指数関数的な数の自己変形があります。

— Mateus de Oliveira Oliveira

次に、H1の各頂点v_jについて、v_jから2jエッジをダイヤモンドの内部頂点に追加して、ダイヤモンドD_iの両方の内部頂点がH1の同じ頂点に接続されるようにします。これは、ひし形の内部頂点が依然として交換可能であることを保証するため、グラフG2の自己同型の総数は指数関数的です。

— Mateus de Oliveira Oliveira

次数

と最大原子価

接続グラフが最大で

の次数の自己同型群を持つことを示すのは簡単です。2番目の頂点から始めて、各頂点が前に来た少なくとも1つの頂点に隣接するように、頂点の順序を見つけます。ましょう

第1固定サブグループである

頂点。これはサブグループの降順のチェーンです

および

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$ 。それは軌道安定装置の定理に続く

、および

のための

。

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— ベレット

グラフの切断を許可すると、頂点の数に関して適切な上限がなくなります。

正則グラフの場合、完全なグラフ素な和集合を取ります。その後、グラフは有する頂点、及び自己同型。 $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— 鳥
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