タグ付けされた質問 「circuit-complexity」

回路の複雑さは、リソースに制限された回路と、そのような回路によって計算される機能の研究です。

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有界深度確率分布
境界深度計算に関する2つの関連する質問： 1）nビットで開始し、ビットiで開始するには、独立して何らかの確率p（i）で0または1にできると仮定します。（問題が簡単になる場合、すべてのp（i）が0、1、または1/2であると想定できます。またはそれらのすべてが1/2であることさえ。） ここで、制限された数の計算をラウンドにします。各ラウンドでは、互いに素なビットセットに可逆的な古典的なゲートを適用します。（普遍的な古典的なリバーシブルゲートのお気に入りのセットを修正します。） 最後に、nビットの文字列の確率分布を取得します。そのような配布の制限に関する結果はありますか？ 私は、Hastadスイッチングの補題に類似した何かを探しています。ボッパナの結果は、全体の影響が小さいか、LMN定理です。 2）1）と同じ質問ですが、深さ制限のある量子回路に関するものです。
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NCとPの間の問題：このリストからいくつ解決されましたか？
Greenlaw、Hoover、およびRuzzo （PS） による論文「Pの問題の概要」（PS）（PDF）には、NCにあることが知られておらず、Pに完全でないことがわかっているPの問題のリストがあります。 。（このリストは、KarpとRamachandranによる優れた調査のすべての未解決の問題を包含しています。）未解決の問題のリストは、89ページから始まります。 このリストからいくつの問題が解決されましたか（P-completeまたはNCで示されています）？過去19年間に解決されたものはあまり多くないと思うので、これは（できれば）ビッグリストになってはいけません。 それは私が見つけた最新のリストです。より最新のリストへのポインタも歓迎します！ 編集：アンドラス・サラモンは、同じ著者による教科書があり、リストが少し長いことを指摘しています。これは本のPDFです。未解決の問題は237ページから始まります。
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Pの回路の複雑さに関するコルモゴロフの推測に対する/反対の議論
（未検証の）歴史的記述によれば、コルモゴロフはすべての言語が線形回路の複雑さを持っていると考えました。（が線形サイズの回路を持っているという以前の質問Kolmogorovの推測を参照してください。）意味することに注意してください。PP\mathsf{P}PPPP≠NPP≠NP\mathsf{P}\neq \mathsf{NP} しかし、コルモゴロフの予想は失敗すると思われます。たとえば、ライアン・ウィリアムズは最近に書いた紙：「真の場合の予想は、驚くことでしょう言語のために。必要 時、それはこのような問題の複雑さとは考えにくい表示されます単に入力長ごとに異なる回路を設計できるため、サイズに魔法のように縮小します。」PP\mathsf{P}n100100n100100n^{100^{100}}O(n)O(n)O(n) 一方、アンドレイ・コルモゴロフ（1903-1987）は、20世紀の主要な数学者の1人として広く認識されています。彼が完全に不条理な推測を提案したと想像するのはかなり難しい。したがって、それをよりよく理解するために、私は彼の驚くべき推測を実際にサポートするかもしれないいくつかの議論を見つけようとしました。ここに私が考えることができるものがあります： と仮定します。次に、言語L \ in \ mathsf {P}を選択して、Lが均一モデルと非均一モデルの両方で超線形の複雑さを持つようにします。その場合、2つの可能性があります。P⊈SIZE(lin)P⊈SIZE(lin)\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)L∈PL∈PL\in \mathsf{P}LLL Lを受け入れる既知の 明示的アルゴリズム（チューリングマシン）があります。これから、超線形回路の複雑さを持たなければならない明示的な関数ファミリーを構築できます。しかし、60年以上にわたる回路の熱心な研究でこのような例を見つけることができた人はいないため、これは考えにくいかもしれません。LLL Lの既知の明示的なアルゴリズムはありません。たとえば、その存在は、選択の公理などの非構成的手段によって証明されます。または、明示的なアルゴリズムが存在する場合でも、誰もそれを見つけることができませんでした。ただし、Lの役割を果たすことができる言語の数は無限にあるため、これらすべての言語がこの非友好的な方法で動作する可能性は再びありません。LLLLLL しかし、その後、両方のオプションをありそうもないものとして却下した場合、残っている可能性は、そのようなLLLが存在しないことだけです。これは P⊆SIZE(lin)P⊆SIZE(lin)\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)を意味します。これはまさにコルモゴロフの予想です。 質問：コルモゴロフの予想に対する/反対の議論を考えることができますか？
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を詳細にカウントできますか
深さlg nの多項式サイズ（無制限のファンイン）回路によってビットのしきい値ゲートを計算できますかnnn？あるいは、これらの回路を使用して入力ビットの1の数をカウントできますか？lgnlglgnlg⁡nlg⁡lg⁡n\frac{\lg n}{\lg \lg n} ある？TC0⊆AltTime(O(lgnlglgn),O(lgn))TC0⊆AltTime(O(lg⁡nlg⁡lg⁡n),O(lg⁡n))\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n)) なお、。したがって、本質的には、しきい値ゲートを計算するときに、回路の深さのlg lg n係数を保存できるかどうかが質問されます。TC0⊆NC1=ALogTime=AltTime(O(lgn),O(lgn))TC0⊆NC1=ALogTime=AltTime(O(lg⁡n),O(lg⁡n))\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))lglgnlg⁡lg⁡n\lg \lg n 編集： クリストファーが答えで書いたように、因子を節約できます。しかし、もう少し節約できますか？私たちは、置き換えることができますO （LG Nlglgnlg⁡lg⁡n\lg \lg nwitho（lgnO(lgnlglgn)O(lg⁡nlg⁡lg⁡n)O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})？o(lgnlglgn)o(lg⁡nlg⁡lg⁡n)o(\frac{\lg n}{\lg \lg n}) レイヤードブルートフォースのトリックは、（さらに一般的にはlg lg n + ω （1 ）の関数）を保存するためには機能しないように思えます。2lglgn2lg⁡lg⁡n2 \lg \lg nlglgn+ω(1)lg⁡lg⁡n+ω(1)\lg \lg …
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パリティと
パリティとは分離不可能な双子のようなものです。それとも、過去30年の間そうでした。ライアンの結果に照らして、少人数のクラスに対する関心が新たになります。AC0AC0AC^0 Furst Saxe SipserからYao to Hastadまでは、すべてパリティおよびランダム制限です。Razborov / Smolenskyは、パリティ付きの近似多項式です（ok、modゲート）。Aspnes et alは、パリティに弱い次数を使用しています。さらに、Allender HertrampfとBeigel Taruiは、少人数のクラスで戸田を使用することについてです。そして、決定木を持つRazborov / Beame。これらはすべてパリティバスケットに分類されます。 1）でないことを直接示すことができる（パリティ以外の）他の自然な問題は何ですか？AC0AC0AC^0 2）AC ^ 0の下限に対する劇的に異なるアプローチが試みられたことを知っている人はいますか？
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回路の上限が意味することを証明する
P対NPの公式のClay問題の説明では、は、「 [決定論的チューリングマシンで指数時間で認識可能な言語のクラス]のすべての言語がブール回路族によって計算できることを示すことから、、このような少なくとも一つのそれ、任意のブール関数を計算するのに必要な最大よりも少ないゲートを有する「。しかし、唯一の言及は、これが「V.カバネッツによる興味深い観察である」ということです。誰かがこの証拠との関係の公開版を私に指摘してもらえますか？E < B N > N B N F ：{ 0 、1 } nは ⟶ { 0 、1 }P≠ NPP≠NPP \neq NPEEE< Bn><Bn>nnnBnBnB_nf：{ 0 、1 }n⟶ { 0 、1 }f:{0,1}n⟶{0,1}f: \{0,1\}^n \longrightarrow \{0,1\}
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計算可能な数が有理数か整数かをテストすることはできますか？
計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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ゲートファンアウト1 を使用して
編集（2011年8月22日）： 私はさらに質問を簡素化し、質問に報奨金を置いています。おそらく、この単純な質問には簡単な答えがあります。また、関連性がなくなった元の質問のすべての部分を取り消し線で囲みます。（元の質問に部分的に答えてくれたStasys JuknaとRyan O'Donnellに感謝します！） バックグラウンド： AC所与0深さkとサイズSを有する回路、別のAC存在0深さkとサイズと同じ関数演算回路新しい回路は全てゲートのファンアウト= 1を有するように。つまり、回路はツリーのように見えます（入力は複数のゲートにファンアウトする可能性があるため、入力を除く）。これを行う1つの方法は、すべてのゲートのファンアウトが1になるまで、ファンアウトが1より大きいすべてのゲートを複製することです。O （Sk）O(Sk)O(S^k) しかし、これはAC 0回路をファンアウト1のAC 0回路に変換する最も効率的な方法ですか？Ryan O'Donnellのコースノートの講義14で以下を読みました。 Cがパリティを計算するサイズSの深さkの回路であると仮定します。Cをレベル化されたdepth-k回路に変換できることを示す演習です。レベルはANDゲートとORゲートを交互に切り替え、入力ワイヤは2nリテラルであり、各ゲートにはファンアウト1があります（つまり、ツリーです） ） -せいぜいへとサイズが大きく。（2 k S）2≤ O （S4）(2kS)2≤O(S4)(2kS)^2 \leq O(S^4) 脚注：実際、これは少しややこしい練習です。サイズのみを取得する必要がある場合は簡単です。これは、kを「定数」と考える場合、この目的ではほぼ同じです。O （Sk）O(Sk)O(S^k) これは、サイズSの深さk AC 0回路を取り、ファンアウト1、深さk、サイズ（2 k S ）2の AC 0回路に変換する方法があることを意味しますか？もしそうなら、これはどのように行われ、これは最も有名な方法ですか？ （2 k S）2(2kS)2(2kS)^2 元の質問： AC所与0深さkとサイズSを有する回路、ACにこれを変換する（結果として得られる回路の回路規模を最小限に抑えるという点で）最もよく知られた方法何0 1ファンアウト深さkおよびゲートの回路は？これについて知られている下限はありますか？ より新しく、より簡単な質問： この質問は、結果の回路が一定の深さであることを私が主張しない元の問題の緩和です。上で説明したように、深さk、サイズSのAC 0回路をサイズ回路に変換して、新しい回路がすべてのゲートでファンアウト= 1になるようにする方法があります。より良い構造はありますか？O （Sk）O(Sk)O(S^k) 深さkおよびサイズSのAC 0回路が与えられた場合、これをゲートファンアウト1を持つ任意の深さの回路に変換する（結果の回路の回路サイズを最小化するという点で）最もよく知られている方法は何ですか？
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回路サイズの階層定理
回路の複雑さのサイズ階層定理は、この分野の大きなブレークスルーになると思います。 クラス分離への興味深いアプローチですか？ 質問の動機は、私たちが言わなければならないことです サイズの回路では計算できず、サイズの回路で計算できる関数があります。（そしておそらく深さに関する何か）g （n ）f （n ）&lt; o （g （n ））f（n ）f(n)f(n)g（n ）g(n)g(n)f（n ）&lt; o （g（n ））f(n)&lt;o(g(n))f(n)<o(g(n)) したがって、場合、プロパティは不自然に見えます（大きさの条件に違反しています）。明らかに、対角化は使用できません。これは、均一な設定になっていないためです。f（m ）g（N ）≤ NO （1 ）f(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n) \leq n^{O(1)} この方向に結果はありますか？
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十分な大きさのアフィン部分空間で定数ではないブール関数
明示的なブール関数fに興味があります：f:0,1n→0,1f:0,1n→0,1f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}次のプロパティを使用しますアフィン部分空間でfが一定の場合fff、この部分空間の次元は o （n ）です。0,1n0,1n\\{0,1\\}^no(n)o(n)o(n) 部分空間A =を考慮することにより、対称関数がこの特性を満たさないことを示すことは難しくありません。A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}。任意正確たN / 2 1の、ひいてはF定数が部分空間であるA寸法のN / 2。x∈Ax∈Ax \in An/2n/2n/2 111fffAAAn/2n/2n/2 クロスポスト：https : //mathoverflow.net/questions/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen
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非決定性回路の能力を示す例
非決定的ブール回路には、通常の入力に加えて、「非決定性」入力のセットy = （y 1、… 、y m）があります。非決定論的回路Cは、回路xが1を出力するようにyが存在する場合、入力xを受け入れます（x 、y ）。P / p o l yと同様x=(x1,…,xn)x=(x1,…,xn)x = (x_1,\dots,x_n)y=(y1,…,ym)y=(y1,…,ym)y=(y_1,\dots,y_m)CCCxxxyyy111(x,y)(x,y)(x,y)P/polyP/polyP/poly（多項式サイズの回路によって決定可能な言語のクラス）、は、多項式サイズの非決定的回路によって決定可能な言語のクラスとして定義できます。広く、特に、非決定回路は決定的回路よりも強力であると考えられているN P ⊂ P / P oをL yは多項式階層が崩壊することを意味します。NP/polyNP/polyNP/polyNP⊂P/polyNP⊂P/polyNP \subset P/poly 文献には、非決定的回路が決定的回路よりも強力であることを示す明示的な（および無条件の）例がありますか？ 特に、 サイズc nの非決定論的回路で計算できるが、サイズ（c + ϵ ）nの決定論的回路では計算できない関数ファミリーを知っていますか？{fn}n&gt;0{fn}n&gt;0\{f_n\}_{n > 0}cncncn(c+ϵ)n(c+ϵ)n(c+\epsilon)n
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非決定的回路のサイズの下限
パリティ関数を計算する回路の最小サイズは正確に等しいことが知られています。下限証明は、ゲート除去法に基づいています。うん2うん2U_23 （n − 1 ）3（n−1）3(n-1) 最近、ゲート除去法が非決定的回路にもうまく機能することに気付き、パリティ関数を計算する非決定的回路のサイズの下限を証明できます。うん2うん2U_23 （n − 1 ）3（n−1）3(n-1)うん2うん2U_2 （これは、非決定的計算は回路によるパリティの計算には役に立たず、サイズを3 （n − 1 ）から減らすことができないことを意味します。したがって、最小回路は決定的場合から変化しません。）うん2うん2U_23 （n − 1 ）3（n−1）3(n-1) 私の質問は次の2つです。 （1）これは新しい結果ですか、それとも既知の結果ですか？ （2）より一般的には、無制限の非決定的入力ビット（つまり、無制限の非決定性）が明示的な場合、非決定的回路（式、定深度回路などを含む）のサイズの下限の既知の結果があります関数？ 追加説明（2014年11月27日） 2番目の質問では、これが明示的な関数の無制限の非決定性を持つ非決定性回路（式、一定深さ回路などを含む）のサイズの最初の非自明な下限であるかどうかを特に知りたいと考えました。次のように、非決定性が制限されている場合、いくつかの結果があることを知っています。 [1] Hartmut Klauck：非決定性が制限された計算の下限。計算の複雑さに関するIEEE会議1998：141- [2] Vikraman Arvind、KV Subrahmanyam、NV Vinodchandran：一定深さの回路によるプログラムチェックのクエリの複雑さ。ISAAC 1999：123-132
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非ブール関数の3nよりも良い下限？
Blumの下限は、明示的な関数完全な基底で最もよく知られている回路の下限を参照してください。関連する結果については、この質問に対するJuknaの回答。3n−o(n)3n−o(n)3n-o(n)f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f : \{0,1\}^n \to \{0,1\} の範囲が場合、最もよく知られている下限は何ですか？特に、、または、より良い結果が得られますか？{ 0 、1 } M M = N M = 2fff{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^mm=nm=nm = nm=2m=2m = 2
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