タグ付けされた質問 「circuit-complexity」

回路の複雑さは、リソースに制限された回路と、そのような回路によって計算される機能の研究です。

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ポリログ境界の深さ回路の回路下限のステータス
AC0AC0AC^{0}pppAC0[q]AC0[q]AC^{0}[q]AC0[q]AC0[q]AC^0[q]qqqgcd(p,q)=1gcd(p,q)=1\gcd(p,q)=1。ただし、入力を制限し、有限体で多項式を近似するなどの古典的な方法を使用すると、多対数深度回路で具体的な下限の結果を取得することはできません。 幾何学的複雑性理論につながり、ビット単位の演算を使用しない効率的な並列計算では最小コストフローの問題を計算できないことを示すSTOC'96論文を知っています。 これは、特定の制限された設定で、一部の完全問題の下限を証明できることを意味します。PNCNCNCPPP 第一に、多対数深度回路の下限を証明するためのもっともらしいアプローチであるかもしれない他の方法または技術がありますか？ 第二に、理論コミュニティにとって次の声明はどれほど有用ですか？ ブール関数計算する回路のサイズは、少なくとも。ここで、は、ターゲット関数。lの値は、たとえば、不一致のような組み合わせ量、フィールド上の特定のタイプの行列のランクのような線形代数量、または以前は複雑性理論で使用されていなかったまったく新しい量です。F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 } LのL F LNCNCNCf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}llllllffflll
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QAC_0にPARITYがある（それが理にかなっている場合）
よく知られているように、PARITYはポリサイズの一定の深さの回路では実行できず、実際にはconst-dept回路にはEXP数のゲートが必要です。 QUANTUM回路はどうですか？ a）一定の深さとゲートのポリ数を持つ量子回路でパリティを実行できますか？ b）私の質問は理にかなっていますか？
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感度がブロック感度であるブール関数
感度とブロック感度に関する研究の一部は、がよりも多項式的に大きいという推測を解決するために、s(f)s(f)s(f)と間にできるだけ大きなギャップがある関数を調べることを目的としています。bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)s(f)s(f)s(f)。反対方向はどうですか？のs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)関数について知られていることは何ですか？ 通常、定数関数には0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)ます。同様に、のs(f)=ns(f)=ns(f) = n関数もs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)持ちます。簡単ではありませんが、単調関数もこの等式を満たしていることを示すのはそれほど難しくありません。を持つ他の素晴らしいクラスの関数はありますか？完全な特性評価が理想的です。要件をさらに強化してs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)s0(f)=bs0(f)s0(f)=bs0(f)s^0(f) = bs^0(f)およびs1(f)=bs1(f)s1(f)=bs1(f)s^1(f) = bs^1(f)？ この質問の動機は、感度がブロック感度にどのように関連するかについてのいくつかの直観を得ることです。 定義 ましょうf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}上のブール関数であるnnnビットワード。以下のためx∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nとA⊆{0,1,…,n}A⊆{0,1,…,n}A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}、聞かせてxAxAx^A表すnnnから得られたビットワードxxxによって指定されたビット反転させることによってAAA。A = {の場合A={i}A={i}A = \{i\}、これを単にxixix^iとして示します。 我々は定義の感度fff時xxxとしてs （f、x ）= ＃{ i | f（x私）≠ f（x ）}s(f,x)=#{i|f(xi)≠f(x)}s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}。つまり、fの出力を反転するために反転できるのはバツxxのビット数です。fの感度をs （f ）= max x s （f 、x …
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BPPがP / polyにあることがわかった後、BPPとPは本当の問題ですか？
私たちは知っている含めることを（今の約40年間、エーデルマン、ベネットとギルに感謝）BPP ⊆⊆\subseteq P /ポリ、そしてさらに強力なBPP /ポリ⊆⊆\subseteq P /ポリホールド。「/ poly」は不均一に動作することを意味します（入力長ごとに個別の回路）。この「/ poly」なしのPは、すべての可能な入力長に対して1つのチューリングマシンがあることを意味します。 =次の「ビッグバン」までの秒数。nnnnnnnnnn 質問1：BPP P / poly を知った後、BPP = Pの証明（または反証）が私たちの知識にどのような貢献をしますか？ ⊆⊆\subseteq 「新規」とは、他の複雑度クラスの崩壊/分離など、本当に驚くべき結果を意味します。これを、NP P / poly の証明/証明がもたらす結果と比較してください。 ⊆⊆\subseteq 【ADDED 2017年8月10日]は一の本当に驚くべき結果BPPは Pは、で示されるように、それをあろうImpagliazzoとWigderson、 すべての（！）で問題 E = DTIMEなければなりませんサイズ回路。この結果を思い出してくれたRyanに感謝します。[ 2 O （n ） ]⊈⊈\not\subseteq [2O(n)][2O(n)][2^{O(n)}]2o(n)2o(n)2^{o(n)} 質問2：BPP / poly \ subseteq P / poly の証明と同様の線に沿ってBPP = Pを証明できないのはなぜ ですか？ ⊆⊆\subseteq …
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n入力ビットのANDとORを同時に計算するために必要なバイナリゲートの数
入力ビットのANDとORを同時に計算するために必要な最小数のバイナリゲートは何ですか？自明な上限はです。これは最適だと思いますが、これをどうやって証明するのでしょうか？標準のゲート除去手法は、入力変数のいずれかに定数を割り当てることにより、出力の1つを単純化するため、ここでは機能しません。nnn2n−22n−22n-2 この問題は、Ingo Wegenerの著書「ブール関数の複雑さ」の演習5.12でも、わずかに異なる形式で示されてい。消去法では、サイズ下限のみを証明できます。より大きな下限を証明してください。」fn(x)=x1…xn∨x¯1…x¯nfn(x)=x1…xn∨x¯1…x¯nf_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_nn+Ω(1)n+Ω(1)n+\Omega(1)
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均一化のより強い概念？
私が本当に理解していないことを常に認識していたギャップの1つは、回路の複雑さが不均一バージョンを表し、チューリングマシンが均一である場合の不均一と均一の計算の複雑さの間です。「均一」とは、アルゴリズムのクラスを制限する方法であると考えられます。たとえば、n + 1変数の問題と比較して、n変数の問題に対して完全に異なる回路を許可しません。 私の質問は次のとおりです。1）回路に関する均一性の説明、および2）さらに強力な均一性を実現することは可能ですか？ Pは？ 後期の明確化：質問2での私の意図は、「実用的に」多項式アルゴリズムのクラスと同じ能力を持つ制限されたクラスのアルゴリズムについてです。
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どの
ニール・イマーマンの有名な世界の写真は次のとおりです（クリックして拡大）。 彼の「本当に実現可能な」クラスには、他のクラスは含まれていません。私の質問は次のとおりです。 非実用的であると考えられるAC 0問題とは何ですか？
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リストに順番を維持
注文のメンテナンスの問題（または「リスト内の注文の維持」）は、操作をサポートすることです。 singleton：1つのアイテムでリストを作成し、そのポインターを返します insertAfter：アイテムへのポインターを指定すると、そのアイテムの後に新しいアイテムを挿入し、新しいアイテムへのポインターを返します delete：アイテムへのポインタを指定すると、リストから削除します minPointer：同じリスト内のアイテムへの2つのポインターを指定すると、リストの先頭に近い方を返します 私は、償却時間ですべての操作を実行するこの問題に対する3つの解決策を知っています。それらはすべて乗算を使用します。O （1 ）O（1）O(1) Athanasios K. Tsakalidis：一般化リンクリストでの順序の維持 Dietz、P.、D. Sleator、リスト内の順序を維持するための2つのアルゴリズム Michael A. Bender、Richard Cole、Erik D. Demaine、Martin Farach-Colton、およびJack Zito、「リスト内の順序を維持するための2つの簡略化されたアルゴリズム」 A C 0にない算術演算を使用せずに、償却時間のリストで順序を維持できますか？O （1 ）O（1）O(1)A C0AC0AC^0
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次の直接和プロパティを持つ関数が存在することが知られていますか？
この質問は、ブール回路の回路の複雑さのフレームワーク、代数的複雑さの理論のフレームワーク、またはおそらく他の多くの設定で尋ねることができます。引数を数えることで、指数関数的に多くのゲートを必要とするN個の入力にブール関数が存在することを簡単に示すことができます（もちろん、明示的な例はありません）。入力の合計数がMNになるように、M個の異なる入力セットで、ある整数Mに対して同じ関数をM回評価したいとします。つまり、を評価したいだけですは、毎回同じ関数。f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})fff 問題は、それが機能のシーケンスが存在することが知られている（各Nに対して1つの機能）は、任意のNのために、任意のMのために、ゲートの総数はの指数関数M倍に少なくとも等しい必要よう、ことN？この結果をすべてのMに保持したいため、単純なカウント引数は機能しないようです。代数的複雑性理論やその他の分野で、この質問の単純な類似物を思い付くことができます。fff
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ランダム単調関数
Razborov-RudichのNatural Proofsペーパー、6ページで、「モノトーン回路モデルに対する強力な下限証明」とそれらが写真にどのように適合するかについて議論する部分で、次の文があります。 ここでは、問題は建設的ではありません-これらの証明で使用されるプロパティはすべて実行可能です-しかし、大きさ条件の良い形式的な類似物はないようです。特に、「ランダムな単調関数」の実行可能な定義を策定した人はいません。 単調な関数の出力とランダムな文字列を区別するのは簡単ではありませんか？強い下限の存在は、そのようなものがないことを私たちに教えてくれませんか？ 私の質問は： 「ランダムな単調関数」の実行可能な定義とはどういう意味ですか？
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障壁と単調な回路の複雑さ
自然証明は、ブール関数の回路の複雑さの下限を証明する障壁です。それらは、回路の複雑さの下限を証明する上で、そのような障壁を直接意味するものではありません。そのような障壁の特定に向けた進展はありますか？単調な設定には他の障壁がありますか？M O N O T O N Emonotonemonotone
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動的プログラミングは貪欲よりも決して弱くないのですか？
回路の複雑さの中で、さまざまな回路モデルのパワーを分離しています。 証明の複雑さでは、さまざまな証明システムの能力を分離しています。 しかし、アルゴリズムでは、アルゴリズムのパラダイムの力の間の分離はまだわずかしかありません。 以下の私の質問は、貪欲と動的プログラミングという2つのパラダイムでこの後者の問題に触れることを目的としています。 要素の基本セットと、そのサブセットの一部のファミリが実行可能なソリューションとして宣言されています。このファミリは下向きに閉じていると仮定します。実行可能なソリューションのサブセットは実行可能です。地上要素への非負の重みの割り当てを考えると、問題は実行可能な解の最大合計重みを計算することです。 欲張りアルゴリズムは、空の部分解で始まり、各ステップで、可能な限り最大の未処理要素を追加します。つまり、拡張解がまだ実行可能な場合です。よく知られているRado-Edmondsの定理は、このアルゴリズムが実行可能な解のファミリーがマトロイドである場合、すべての入力の重みに対して最適な解を見つけると述べています。 大まかに言えば、DPアルゴリズムは、MaxおよびSum（またはMinおよびSum）操作のみを使用する場合、単純です。より具体的には（Joshuaが示唆するように）、単純なDPアルゴリズムによって、fann-2 MaxゲートとSumゲートを持つ（max、+）回路を意味します。入力は変数であり、その私私i番目は番目の要素に与えられた重みに対応します。このような回路は、実行可能なソリューションの最大総重量を計算するだけで、このような問題を解決できます。しかし、指数関数的に多くのそのようなソリューションがある場合、これは非常にやり過ぎになる可能性があります（ほとんどの場合そうです）。私私i 質問1： 単純なDPアルゴリズムで、対応する最大化問題を解決するために超多項式数の演算が必要なマトロイドはありますか？ コメント（2015年12月24日追加）：この質問は既に回答済みです（以下を参照）。圧倒的多数であっても、このようなマトロイドがあります。 次の質問では、近似問題のために貪欲なDPと単純なDPを分離するように求めています。で最大量のマッチング問題、実現可能な解決策の家族は完全な二部では、すべてのマッチングで構成さグラフ。エッジへの重みの指定された割り当ての目的は、マッチングの最大重みを計算することです（重みは負でないため、これは常に完全なマッチングになります）。 n × nn×nn\times n 単純な欲張りアルゴリズムは、要因2内でこの問題を近似できます。常に、最大重量のまだ表示されていないばらばらのエッジを取るだけです。得られた重量は、最適重量の少なくとも半分になります。 質問2： 単純なDPアルゴリズムは、多項式的に多くのMaxおよびSum演算のみを使用して、因子2内のMax-Weight Matching問題を近似できますか？ もちろん、エッジの最大重みの倍を出力する単純なDPアルゴリズムは、因子内でこの問題を近似します。しかし、はるかに小さい係数が必要です。係数を達成することはできないと思いが、繰り返しますが、これをどのように証明するのでしょうか？ nnnnnnn /ログnn/ログ⁡nn/\log n 関連：Max-Weight Matchingのいとこは、Assignment問題です。完全一致の最小重みを見つけます。この問題は、操作のみを使用する線形プログラミング（いわゆるハンガリー語アルゴリズム）によって（正確に）解決できます。しかし、パーマネント関数を計算するモノトーンブール回路のサイズのRazborovの下限は、任意の（！）有限要素内でこの問題を近似する（min、+）回路が操作。したがって、最小化問題の場合、単純なDPアルゴリズムは線形計画法よりもはるかに弱い可能性があります。上記の私の質問は、このようなDPアルゴリズムがGreedyよりもさらに弱いことを示すことを目的としています。 O （n3）O（n3）O(n^3)nΩ （ログn ）nΩ（ログ⁡n）n^{\Omega(\log n)} 誰かが同様の質問を誰かが検討しているのを見たことがありますか？ 追加（2015年12月24日）：質問2は、因子貪欲アルゴリズムで近似できる特定の最大化問題（Max-Weight Matching問題）を、単純なポリサイズでは近似できないことを示すことを目的としています。同じ係数 DP 。一方、私は貪欲と単純なDPの間の弱い分離を得ました：すべてのには、因子貪欲なアルゴリズムで近似できる明示的な最大化問題がありますが、ポリサイズの単純なDPアルゴリズムは、より小さい係数この問題を近似できます（こちらを参照）r = 2r=2r=2r = o （n / log n ）rrrrr = o （n / logn …
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XORゲートを使用した最小の回路サイズ
n個のブール変数x_1、...、x_nのセットとm個の関数y_1 ... y_mのセットが与えられ、各y_iがこれらの変数の（与えられた）サブセットのXORであると仮定します。目標は、これらすべてのy_1 ... y_m関数を計算するために実行する必要があるXOR操作の最小数を計算することです。 XOR演算の結果、たとえばx_1 XOR x_2は複数のy_jの計算に使用される可能性がありますが、1つとしてカウントされることに注意してください。また、y_iをより効率的に計算するために、x_iの非常に大きなコレクション（すべてのx_iのXORを計算するなど、y_i関数よりも大きい）のXORを計算すると便利な場合があることに注意してください。 同様に、バイナリ行列AとベクトルXを持ち、目標がAX = YであるベクトルYを計算することであり、ここですべての操作が最小数の操作を使用してGF（2）で実行されると仮定します。 Aの各行が正確にk個（たとえばk = 3）の場合でも興味深いです。この質問の複雑さ（近似の難しさ）を知っている人はいますか？ モハンマド・サラヴァティプール
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ポリとログの深さの量子回路間の口腔分離
以下の問題は、アーロンソンのリスト「量子コンピューティング理論のための10のセミグランドチャレンジ」に現れています。 Is B Q P = B P PB Q N CBQP=BPPBQNC\mathsf{BQP}=\mathsf{BPP}^{\mathsf{BQNC}}言い換えれば、任意の量子アルゴリズムの「量子」部分をp o l y l o g（n）polylog（n）\mathrm{polylog}(n)深さに圧縮できますか？時間古典的な後処理？（これは、Shorのアルゴリズムに当てはまることが知られています。）その場合、汎用量子コンピューターの構築は、一般に信じられているよりもはるかに簡単です！ちなみに、それは与えることは難しいことではありませんオラクル分離の間にB Q PBQP\mathsf{BQP} およびBPPBQNCBPPBQNC\mathsf{BPP}^{\mathsf{BQNC}}ですが、問題はそのようなオラクルを「インスタンス化する」具体的な機能があるかどうかです。 されていJozsaによって推測質問への答えは、量子計算」の「」測定ベースのモデルではイエスであること：地元の測定、適応地元のゲートと効率的な古典後処理が許可されても参照してくださいこの関連の記事を。 質問。このクラス間の現在知られている口頭の分離（または、少なくとも、アーロンソンが言及している神託分離）について知りたいです。
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ん
ポリタイムチューリングマシン/ポリサイズ回路の代わりに、対数空間チューリングマシンまたは回路が問題をエンコードするようにを定義するとどうなりますか？P P A DPPAD{\bf PPAD} A C 0AC0{\bf AC^0} 最近、小さな回路の回路充足可能性のアルゴリズムを高速化することが重要であることが判明したため、 PPAD制限されたバージョンはどうなるのだろうか。P P A DPPAD{\bf PPAD}
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