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ポリタイムチューリングマシン/ポリサイズ回路の代わりに、対数空間チューリングマシンまたは回路が問題をエンコードするようにを定義するとどうなりますか？ ${\bf PPAD}$ ${\bf AC^0}$

最近、小さな回路の回路充足可能性のアルゴリズムを高速化することが重要であることが判明したため、 PPAD制限されたバージョンはどうなるのだろうか。 ${\bf PPAD}$

— domotorp
ソース

Buss and Johnson、「NP探索問題間の命題の証明と削減」は、PPADがチューリング削減の下で閉じられていることを証明し、引数の小さな修正がPPADとその（均一な）AC ^ 0バージョンとの等価性を与えると確信しています。

— エミールJeřábekはモニカ・サポート

@Emil：提案をありがとう、残念ながら、この論文の概念は私を超えています。誰かがその意味を教えてくれるとありがたいです。また、ここのプレプリントにリンクさせてください：math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/NPSearch/NPSearch.pdf

— domotorp

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ はい、。（ここで、以下、私が想定しています均一なクラスとして定義されている。もちろん、不均一と私達はちょうど取得したい。） $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ $\ac$ $\ac$ $\mathrm{PPAD/poly}$

基本的な考え方は非常に単純です。はチューリングマシン計算の1つのステップを実行できるため、計算可能エッジの多項式の長いラインによって1つの多項式時間計算可能エッジをシミュレートできます。アイデアをさらに拡張することにより、PPADオラクルを使用してポリタイムで計算可能なエッジをシミュレートできます。つまり、PPADはチューリング還元性の下で閉じられます。この議論はBussとJohnsonで与えられています。 $\ac$ $\ac$

文献にはPPADのさまざまな詳細が異なる多くの同等の定義があるため、ここで明確にするために1つ修正します。NP検索問題は、多項式、および以下の特性を持つ多項式時間関数、、およびがある場合、PPADにあります。長さ各入力について、およびは、自己ループのない有向グラフをます。度と出次数せいぜい。表現は、 $S$ $p(n)$ $f(x,u)$ $g(x,u)$ $h(x,u)$ $x$ $n$ $f$ $g$ $G_x=(V_x,E_x)$ $V_x=\{0,1\}^{p(n)}$ $1$ $(u,v)\in E_x$ 、次におよび ; 場合出次数有し、。また、が次数場合、です。 $f(x,u)=v$ $g(x,v)=u$ $u$ $0$ $f(x,u)=u$ $u$ $0$ $g(x,u)=u$

ノードはソースです（つまり、次数と次数持ちます）。場合（中度の任意のソースまたはシンクである、アウト度以外）は、を解決する。 $0^{p(n)}\in V_x$ $0$ $1$ $u\in V_x$ $1$ $0$ $0^{p(n)}$ $h(x,u)$ $S(x)$

同様にを定義できますが、がます。 $\ac\mathrm{PAD}$ $f,g,h$ $\mathrm{FAC}^0$

簡単にするために、構築ではを無視します。（それを投影とみなすことができることを示すのは難しくありません。したがって、計算可能です。） $h$ $\ac$

したがって、とで定義されるPPAD問題考え、時間でとを計算するチューリング機械を修正します。任意の、頂点が次の形式のシーケンスである有向グラフを定義します。 $S$ $f$ $g$ $f$ $g$ $q(n)$ $x$ $G'_x=(V'_x,E'_x)$

、、、及び最初であるの計算に構成。 $(0,u,c_1,\dots,c_k)$ $u\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$
、、、、 $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$ $u,v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $f(x,u)=v$ はの完全な計算であり、は計算の最初のステップです。 $c_1,\dots,c_{q(n)}$ $f(x,u)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
、、、及び最初であるのコンフィギュレーション計算。 $(1,v,d_1,\dots,d_k)$ $0^{p(n)}\ne v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
、、、、、 $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$ $u,v\in V_x$ $v\ne0^{p(n)}$ $0\le k\le q(n)$ $g(x,v)=u$ はの計算であり、は計算の最初のステップです。 $d_1,\dots,d_{q(n)}$ $g(x,v)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$

は、次の種類ののエッジで構成されます。 $E'_x$ $V'_x\times V'_x$

$(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ if $f(u)=v$ and $g(v)=u$ (i.e., either $(u,v)\in E_x$ , or $u=v$ is an isolated vertex)
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$
$(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$
$(1,u)\to(0,u)$

Formally, let $r(n)$ be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with $\ac$ -functions); we actually put $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$ , and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.

It is easy to see that the functions $f'$ , $g'$ representing $G'_x$ are $\ac$ -computable: in particular, we can test in $\ac$ whether $c_1,\dots,c_k$ is a valid partial computation of $f(x,u)$ , we can compute $c_{k+1}$ from $c_k$ , and we can extract the value of $f(x,u)$ from $c_{q(n)}$ .

The sinks in $G'_x$ are nodes of the form $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ where $u$ is a sink in $G_x$ . Likewise, sources are $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ where $v$ is a source in $G_x$ , except that in the special case $v=0^{p(n)}$ , we have pruned the line early and the corresponding source in $G'_x$ is just $(0,0^{p(n)})$ . We can assume the encoding of sequences is done in such a way that $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$ .

Thus, $f'$ and $g'$ define an $\ac\mathrm{PAD}$ problem $S'$ , and we can extract a solution to $S(x)$ from a solution to $S'(x)$ by an $\ac$ -function $h'$ which outputs the second component of a sequence.

— Emil Jeřábek supports Monica
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