BPPがP / polyにあることがわかった後、BPPとPは本当の問題ですか？

私たちは知っている含めることを（今の約40年間、エーデルマン、ベネットとギルに感謝）BPP $\subseteq$ P /ポリ、そしてさらに強力なBPP /ポリ $\subseteq$ P /ポリホールド。「/ poly」は不均一に動作することを意味します（入力長ごとに個別の回路）。この「/ poly」なしのPは、すべての可能な入力長に対して1つのチューリングマシンがあることを意味します。 =次の「ビッグバン」までの秒数。 $n$ $n$ $n$

質問1：BPP P / poly を知った後、BPP = Pの証明（または反証）が私たちの知識にどのような貢献をしますか？ $\subseteq$

「新規」とは、他の複雑度クラスの崩壊/分離など、本当に驚くべき結果を意味します。これを、NP P / poly の証明/証明がもたらす結果と比較してください。 $\subseteq$

【ADDED 2017年8月10日]は一の本当に驚くべき結果BPPは Pは、で示されるように、それをあろうImpagliazzoとWigderson、 すべての（！）で問題 E = DTIMEなければなりませんサイズ回路。この結果を思い出してくれたRyanに感謝します。 $\not\subseteq$ $[2^{O(n)}]$ $2^{o(n)}$

質問2：BPP / poly P / poly の証明と同様の線に沿ってBPP = Pを証明できないのはなぜですか？ $\subseteq$

一つの「明白な」障害物が有限の対無限のドメインの問題です：ブール回路がオーバー働く有限チューリングマシンがオーバーセット全体を働くのに対し、ドメイン $\{0,1\}^*$ の $0$ - $1$ 任意の長さの文字列。したがって、確率論的ブール回路のランダム化を解除するには、確率論的回路の独立したコピーの大部分を取り、ユニオン境界とともにチェルノフの不等式を適用すれば十分です。もちろん、無限のドメインでは、この単純な多数決ルールは機能しません。

しかし、これは（無限ドメイン）本当の「障害」ですか？統計学習理論（VC次元）の結果を使用することにより、算術回路（すべての実数に作用する）のような無限領域に作用する回路にもBPP / poly P / polyが成り立つことを既に証明できます。たとえば、Cuckerのこの論文を参照してください。同様のアプローチを使用する場合に必要なのは、ポリタイムチューリングマシンのVC次元が大きすぎないことを示すことだけです。この後のステップを実行しようとする試みを見た人はいますか？ $\subseteq$

NOTE [2017年7月10日を追加]：derandomizationの文脈では、クラスのVC寸法

F

$F$ 関数

f : X \to Y

$f:X\to Y$ 最大数として定義される

v

$v$ 機能があるれる

f_{1}, \dots, f_{v}

$f_1,\ldots,f_v$ で

F

$F$ ようなすべての

場合、

S \subseteq {1, \dots, v}

$S\subseteq\{1,\ldots,v\}$ 点

(x, y) \in X \times Y

$(x,y)\in X\times Y$ があります。すなわち、関数を介したポイントのセットではなく、ポイントを介した関数のセットを粉砕します。（結果として生じるVC次元の2つの定義は関連していますが、指数関数的です。）

f_{i} (x) = y

$f_i(x)=y$

i \in S

$i\in S$

結果（として知られている確率が一様収束各入力用とします）、次を意味、ランダムに選択関数（上のいくつかの確率分布下）を満たす定数場合、はすべての入力の過半数として計算できます。一部の（固定）関数。たとえば、Hausslerの論文の結果2を参照してください。[これを保持するために、には軽度の可測性条件があります。] $x\in X$ $\mathbf{f}\in F$ $F$ $\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$ $c>0$ $f(x)$ $x\in X$ $m=O(v)$ $F$ $F$

たとえば、がサイズ算術回路で計算可能なすべての多項式である場合、すべての多項式の次数は最大で。多項式のゼロパターンの数に既知の上限を使用することで（たとえば、このペーパーを参照）、のVC次元がであることを示すことができ。これは、算術回路にBPP / poly P / polyを含めることを意味します。 $F$ $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $\leq s$ $F$ $D=2^s$ $F$ $O(n\log D)=O(ns)$ $\subseteq$

— スタシス
ソース

Q1について：Impagliazzo-Wigdersonによる2 ^（O（n））時間で解決可能なすべての問題について、反論は驚くほど小さな回路を示します（おそらくご存知ですか？）

— ライアンウィリアムズ

Q2に混乱しています。ポリタイムTMのVC次元が無限であることは明らかです。すなわち、任意の有限集合のためのと任意の要素受け付けるpolytimeのTMが存在するの要素拒否。重要なことは、が有限であるため、ポリタイムの制限は基本的に無関係です。

X \subseteq {0, 1}^{*}

$X \subseteq \{0,1\}^*$

S \subseteq X

$S \subseteq X$

S

$S$

X ∖ S

$X \setminus S$

X

$X$

— サショニコロフ

Q2については、インクルージョンは実際には複雑さのクラスと計算能力とはあまり関係がなく、ランダムビットの量対アドバイスの量に関するものであるため、自然についての情報を提供するとは思わない効率的な計算の。

— -Kaveh

@Kaveh：ヒント「ランダムなビットの量対アドバイスの量」は、考える価値があります！しかし、私の（素人）の頭の中では、P対NPのような質問であっても、実際には（均一な）TMの「明示的な」構成は気にしません。このような質問は、効率的なアルゴリズムの存在についてのみ質問します。もちろん、構造は存在の「疑いのない」証拠です。しかし、いくつかのより直接的な証拠もあります。そのため、「ごとの存在」を「すべての存在」を示すように拡張することになります。つまり、からです。

n

$n$

n

$n$

\forall \exists

$\forall\exists$

\exists \forall

$\exists\forall$

— Stasys

実行時間を修正しても、VC-dimは無限になります。期待できるのは、入力サイズ実行される時間 TMのVC 次元を制限することです。しかし、その議論を考えると、：不均一性ごとに、潜在的に異なるTMの大部分を取る必要があります。

T

$T$

n

$n$

n

$n$

— サショニコロフ

これがどれだけの答えかわからない、私はただ反justにふけっている。

質問1も同様にP NP について尋ねられ、同様の答えが得られます。結果を証明するために使用される手法/アイデアは、結論そのものよりも大きなブレークスルーになるでしょう。 $\neq$

質問2では、背景と考えを共有したいと思います。私が知っている限りでは、BPP = Pについて持っているほとんどすべてのテクニックとアイデアは、「デランダム化」を経由します。確率的ポリタイムチューリングマシンがあれば、PRGを構築して、ランダムではなく決定論的に選択されたビットの束を送りますその動作は、真にランダムなビットでの動作と非常によく似ています。したがって、十分に優れた疑似乱数ジェネレーターを使用すると、BPP = Pが得られます。（Goldreichの「World of BPP = P」は、BPP = Pの証明がこれと同等でなければならないという証拠を提供します。）

これは、BPP P / poly の行にほぼ沿っていますが、PRGは魔法によって生成されるアドバイス文字列です。おそらくあなたの質問2に対する最良の答えは、Pには魔法がなく、自分でアドバイス文字列を考え出す必要があるということです。展開グラフのようなツールを使用して、2004年の結果SL = Lの背後にあるアイデアは、非ランダム化でもあります。 $\subseteq$

次に、そのような証明が特定の1つのアルゴリズム、Miller-Rabin素数性テストに対して何を意味するかを考えます。これは、すべての整数が合格した場合にのみ元の数が素数になるように、Miller-Rabin素数性テストにフィードする整数のシーケンスを選択する決定論的ジェネレーターの存在を示します。

私はそれを理解しています（私は専門家ではありませんが）、そのようなリストが存在するかどうか、そしてそのリスト内の数字がどれくらい小さいか（特に、ある境界以下のすべての数字をチェックするのに十分な場合）の質問は、かなり深い質問のようです数論であり、一般化されたリーマン仮説の証明形式と密接に関連しています。この質問をご覧ください。ここには正式な意味があるとは思いませんが、もっと一般的なPRG構造の偶発的なミニチュアの結果として来週に期待するものとは思えません。

— us
ソース

興味深い考え！Odedの論文は、Q2が実際にPRGの「存在対構築」に還元されることを示唆しています。VC次元によるデランダム化では、アルゴリズムの側面は完全に無視されます。

— Stasys

すべての人に感謝します（Kaveh、Ricky、Ryan、Sasho、「usul」）：あなたのコメントから多くを学びました。「均一性」は私の人生で決して問題になりませんでした。私は「usul」の答えを受け入れています。Kaveh、Ricky、Ryan、Sashoの非常に興味深い発言によって補完され、これは私の両方の質問に答えます。

— Stasys