均一化のより強い概念？

16

私が本当に理解していないことを常に認識していたギャップの1つは、回路の複雑さが不均一バージョンを表し、チューリングマシンが均一である場合の不均一と均一の計算の複雑さの間です。「均一」とは、アルゴリズムのクラスを制限する方法であると考えられます。たとえば、n + 1変数の問題と比較して、n変数の問題に対して完全に異なる回路を許可しません。

私の質問は次のとおりです。1）回路に関する均一性の説明、および2）さらに強力な均一性を実現することは可能ですか？ Pは？

後期の明確化：質問2での私の意図は、「実用的に」多項式アルゴリズムのクラスと同じ能力を持つ制限されたクラスのアルゴリズムについてです。

cc.complexity-theory circuit-complexity

— ギル・カライ
ソース

「実質的に同じ力を持っている」という意味について詳しく説明していただけますか？

— MS Dousti

私たちが実際に遭遇するPのすべてのアルゴリズムは、この（仮説的な）制限されたクラスに属しているということです。したがって、AC_0やNC ^ iのような特定の多項式タイプのアルゴリズムを省略することがわかっている（または推測される）クラスが、私が参照しているものではないという意味ではありません。

— ギルカライ

2

質問2の場合、多項式サイズのLOGSPACE均一回路で計算可能な関数のクラスはPです（さらに、均一性を適切に定義すると、LOGSPACEより小さい複雑なクラスでもPが得られます）。一般に、多項式時間アルゴリズムの能力を低下させます。

— ピーターショー

8

最初の質問に対する答えは否定的だと思います：回路には固定数の入力があるため、IMOでは、単一の均一な回路ではなく、回路の「ファミリ」についてのみ話すことができます。

2番目の質問については、チューリングマシンによって記述が生成される「回路の均一なファミリ」があることに気付くかもしれません。つまり、一様な回路ファミリとし、チューリングマシンとします。次に、それぞれについて $\{C_n\}$ $M$ 、、ここで、の説明意味。 $n$ $[C_n] = M(1^n)$ $[C_n]$ $C_n$

Pの下にはいくつかの複雑なクラスがあり、回路の均一なファミリによって定義されます。例えば：

は、多項式のゲート数と深さ持つ均一なブール回路によって決定可能な決定問題のクラスです。 $\mathbf{NC}^i$ $O(\log^i n)$

— MS Dousti
ソース

7

上記のSadeqの答えに加えて、Pに含まれる回路クラスを見ると、より制限の多い均一性の概念も見たいかもしれません。

最も単純で最もよく知られている概念はP均一性です。これは、時間poly（n）で回路を生成する（決定論的な）チューリングマシンMが必要であるということです（これについてもシュレーシュは話します）。均一性のより制限的なバージョンは、Mのパワーをさらに制限しようとします。たとえば、Logspace-uniformityもあります。この場合、MはスペースO（log（n））で実行する必要があります。 $C_n$

私が知っている最も制限的な概念は、DLOGTIME-均一性です。これは小さな回路クラスに使用されます。ここで、（現在のランダムアクセス）マシンMには時間O（log n）しかないため、回路全体の記述を書き留めることはできません。課される条件は、iとnが与えられると、Mは時間O（log n）で回路の記述のi番目のビットを書き留めることができるということです。

詳細については、次の論文を参照してください。DavidA. Mix Barrington、Neil Immerman、Howard Straubing：NC¹内の均一性について。J.計算システム。科学 41（3）：274-306（1990）。

— スリカンス
ソース

1

論文へのリンク：dx.doi.org/10.1016/0022-0000(90)90022-D

— Suresh Venkat

Mが回路の記述のi番目のビットをO（log n）に書き込む場合、回路のサイズがO（n）である場合、マシンがO（n log n）の回路全体？

— M.アラガン

1

同等ではないようです。あなたが示したことは、上記（Barrington et。al。）の均一性の概念は、少なくともあなたが提案する均一性の概念と同じくらい強いということです。その逆は明らかではない。具体的には、以下が当てはまるかどうかは明確ではありません：時間

でTMによって生成できるサイズ

の回路のファミリーを考えて、

与えられたTMを考え出すおよび

、時間

で

番目のビットを生成し

。実際、私はそれが真実だとは思わない。

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

i

$i$

n

$n$

i

$i$

C_{n}

$C_n$

O (\log n)

$O(\log n)$

— スリカンス

反対の例は、

と

与えられると、

で

番目のビットを生成するTMであることに同意します。ただし、最後のビットは

取り

。ヒントをありがとう:)

i

$i$

n

$n$

i

$i$

O (1)

$O(1)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— M.アラガン

ポイントは、回路のX均一な族が異なるXに対して同じ族の集合を与えるということではなく、回路のX均一な族によって計算できる関数が異なるXに対して同じであることです。

— 。– Peter Shor

6

回路と均一な計算を「統一」する1つの方法は、を取り、アドバイス回路を出力する複雑さを制限した手順を要求することです。Pの場合、上記を実行できる多項式時間ジェネレーターが必要になると、Pを正しくキャプチャできると思います。 $n$ $C_n$

— スレシュ・ベンカット
ソース

P.をキャプチャする回路になるも、細かい作業のためのLOGSPACEジェネレータ

— ピーター・ショア

5

回路だけで均一性の説明はありますか？

「回路に関して」で不均一な回路を意味する場合、答えは否定です。回路の記述が均一でない場合、計算不可能な関数を使用して、計算不可能な関数を計算できる回路を定義できます。計算するサイズ回路をいつでも構築できます。ここで、は、回路の記述に使用するあらゆる手段で計算可能な関数です。 $1$ $f(|x|)$ $f$

一方、回路を定義するために均一な回路に制限することが許可されている場合、答えは明らかに肯定的です。そして、（と均一な等しい）を使用して、均一性を定義できます。は概念的に回路に非常に近いです。 $FO$ $DLogTime$ $AC^0$ $FO$

ここでの主なポイントは、回路の均一性を定義するために均一な計算のモデルが必要であり、回路の記述が均一でない手段によって与えられる場合、回路は不均一になる可能性があることです

— カベ
ソース

1

O (1)

$O(1)$

A l t T i m e (O (1), O (\lg n))

$AltTime(O(1),O(\lg n))$

4

1）回路だけで均一性の説明はありますか？

[これは、Dick Liptonのブログで尋ねたのと同じ質問に対する私の返信の編集版です。警告：私は専門家ではありません。]

はい（私は思う）、少なくとも2つの異なる種類の：

a）回路は、問題の入力サイズの多項式時間でチューリングマシンによって生成可能です（他のいくつかの応答で述べられているように）。（これがコンセプトの標準的な定義だと思います。）

これは、ユニフォームと呼ぶことができるすべての回路ファミリをカバーしますが、P-timeの概念の定義として、回路ファミリの定義をチューリングマシンの定義に単純に減らします。

b）問題入力を問題解決に進化させる1次元セルラーオートマトンがある場合（決定問題の場合、解決策は、入力を含むセルに関連する指定されたセルの単一ビットであり、安定状態です。入力サイズの多項式時間では、これは単純な方法で2Dで周期的である回路（時間単位ごとにセルごとに1繰り返し単位）に対応し、その状態は二次的に大きな領域でのみ重要です解決時間に。

これは非常に特殊な種類の均一回路ファミリですが、チューリングマシンは1D CAとして簡単にエンコードできるため、Pのすべての問題を解決するには十分です。（これは、以前の応答で言及されたDLOGTIME-uniformityの定義も満たしているようです。）

（これは、リプトンのブログのGowersの回答で言及されている回路としてのチューリングマシンのエンコーディングに似ています。実際、そのうちの1つはおそらく同一です。）

チューリングマシンを1D CAとしてエンコードする1つの方法：各セルで、ある時点でのテープの状態、ここにチューリングマシンヘッドがある場合の状態を表します（ここになくても値は関係ありません）、そして頭が今ここにあるかどうかを少し言います。明らかに、時刻tでのそのような各状態は、時刻t-1でのその近隣の状態のみに依存します。これは、CAとして機能するために必要なすべてです。