感度がブロック感度であるブール関数

感度とブロック感度に関する研究の一部は、がよりも多項式的に大きいという推測を解決するために、$s(f)$と間にできるだけ大きなギャップがある関数を調べることを目的としています。$bs(f)$$bs(f)$$s(f)$。反対方向はどうですか？$s(f) = bs(f)$関数について知られていることは何ですか？

通常、定数関数には$0=s(f)=bs(f)$ます。同様に、$s(f) = n$関数も$s(f) = bs(f)$持ちます。簡単ではありませんが、単調関数もこの等式を満たしていることを示すのはそれほど難しくありません。を持つ他の素晴らしいクラスの関数はありますか？完全な特性評価が理想的です。要件をさらに強化して$s(f) = bs(f)$$s^0(f) = bs^0(f)$および$s^1(f) = bs^1(f)$？

この質問の動機は、感度がブロック感度にどのように関連するかについてのいくつかの直観を得ることです。

定義

ましょう$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$上のブール関数である$n$ビットワード。以下のため$x \in \{0,1\}^n$と$A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$、聞かせて$x^A$表す$n$から得られたビットワード$x$によって指定されたビット反転させることによって$A$。A = {の場合$A = \{i\}$、これを単に$x^i$として示します。

我々は定義の感度$f$時$x$として$s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$。つまり、fの出力を反転するために反転できるのは$x$のビット数です。fの感度をs （f ）= max x s （f 、x ）として定義します$f$$f$$s(f) = \text{max}_x s(f,x)$。

我々は、定義のブロック感度$f$で$x$（示さ$bs(f,x)$の最大として）$k$互いに素なサブセットが存在するように$B_1, B_2, \ldots, B_k$の$\{1,2,\ldots, n\}$このようなその$f(x^{B_i}) \neq f(x)$。私たちは、定義ブロック感度のを$f$ as$bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$。

最後に、我々は定義0感度の$f$として$s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$。我々は、同様に定義する1感度、0ブロック感度、および1ブロック感度付し、$s^1(f)$、$bs^0(f)$、そして$bs^1(f)$それぞれ。

最近、ブール演算子AND、OR、およびEXORを介したunate関数およびread-once関数のs（f）= bs（f）であることを証明し、結果を含む私の論文がTCS 2014に受理されました。（http：// dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9）

この問題を攻撃している可能性があります。もしそうなら、私は申し訳ありませんが、質問が投稿される前に私は独立して問題を攻撃し始めました。私の論文の暫定版は2013年12月の国内会議で発表され、提出期限は2013年10月でした。（http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/）