タグ付けされた質問 「circuit-complexity」

回路の複雑さは、リソースに制限された回路と、そのような回路によって計算される機能の研究です。

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数えにくいが決定しやすい多項式
すべての単調な算術回路、つまり{+,×}{+,×}\{+,\times\} -circuitは、非負の整数係数を持ついくつかの多変量多項式F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)を計算します。多項式与えられる f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)と、回路 計算する fffもしF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)すべてに対して成り立つ∈ N、N。 a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n カウント もしFは、（）= F （）すべてに対して成り立つ∈ { 0 、1 } N。 fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 決定 場合F （）> 0正確F （）> 0がすべて当てはまる ∈ { 0 、1 } N。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 回路サイズのギャップ「計算/カウント」が指数関数的であることを示す明示的な多項式（多重線形であっても）を知っています。私の質問は、ギャップ「カウント/決定」に関するものです。fff 質問1：{ + 、× } -circuitsで決定するより指数関数的に計算が難しい多項式を知っている人はいますか？ fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 可能な候補として、変数が{ 1 、… 、n }上の完全なグラフエッジに対応し、各単項式がK nのノード1からノードnへの単純なパスに対応するPATH多項式を使用できます。この多項式は、たとえばベルマン・フォードの動的計画法アルゴリズムを実装するサイズO （n 3）の回路によって決定でき、{ + 、× }-回路計算がすべてであることを示すのは比較的簡単です。KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATHは大き持っている必要があります。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} …
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完全なバイナリベースでの1回限りの式の特性評価
バックグラウンド ゲートのセット（ベーシスとも呼ばれる）に対する1回限りの式は、各入力変数が1回現れる式です。読み取り1回の式は、一般に、De Morgan基底（2ビットゲートANDおよびOR、および1ビットゲートNOT）と完全なバイナリ基底（すべて2ビットゲート）で研究されます。 したがって、たとえば、2ビットのANDはどちらの基準でも1回限りの式として書き込むことができますが、2ビットのパリティはDe Morgan基準で1回だけの式として書き込むことはできません。 De Morgan基底上で1回限りの式として記述できるすべての関数のセットには、組み合わせの特性があります。たとえば、M。Karchmer、N。Linial、I。Newman、M。Saks、A。Wigdersonによる1回限りの式の組み合わせ特性化を参照してください。 質問 完全なバイナリベースで1回限りの式で計算できる関数セットの代替の特性はありますか？ 簡単な質問（v2で追加） 私はまだ元の質問への回答に興味がありますが、回答を受け取っていないので、簡単な質問をするつもりだと思いました：完全なバイナリベースで数式に有効ないくつかの下限技術は何ですか？（以下にリストしたもの以外） ここで、式のサイズ（=葉の数）の下限を設定しようとしていることに注意してください。読み取り1回の式の場合、式のサイズ=入力数です。したがって、関数が厳密にnより大きいサイズの式を必要とすることを証明できる場合、それは読み取り専用の式として表現できないことも意味します。 私は次のテクニックを知っています（ブール関数の複雑さからの各テクニックのリファレンス：Stasys JuknaによるAdvances and Frontiers）： Nechiporukの普遍関数の方法（セクション6.2）：特定の関数のサイズの下限を示します。これは、興味があるかもしれない特定の関数の下限を見つけるのに役立ちません。n2 − o （1 ）n2−o（1）n^{2-o(1)} サブ関数を使用したネチポルクの定理（Sec 6.5）：これは、関心のある関数の下限を提供するという意味で、適切な下限手法です。たとえば、要素の明瞭性関数のサイズはです。（そして、これはテクニックが証明できる最大の下限であり、あらゆる関数に対してです。）Ω （n2/ログn ）Ω（n2/ログ⁡n）\Omega(n^2/\log n)
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密線形演算子のOR回路の複雑さ
次の単純なモノトーン回路モデルを考えてみましょう。各ゲートは単なるバイナリORです。関数の複雑さは何ですか？ここで、は 0のブール行列です？線形サイズのOR回路で計算できますか？f （x ）= A x f(x)=Axf(x)=AxA AAn × n n×nn \times nO （n ）O(n)O(n) より正式には、から関数であるまでビット。の番目の出力は（つまり、番目の行で与えられる入力ビットのサブセットのOR ）です。F ffN nnN nnI iiF ff⋁ N J = 1（A I J ∧ X J）⋁nj=1(Aij∧xj)\bigvee_{j=1}^{n}(A_{ij} \land x_j)、I iiAAA 0はの行を範囲（連続した要素で構成されるサブセット分割することに注意してください。これにより、既知の範囲クエリデータ構造を使用できます。たとえば、スパーステーブルデータ構造は、サイズ OR回路に変換できます。範囲セミグループ演算子クエリ用のYaoのアルゴリズムは、ほぼ線形の回路（サイズO（\ alpha（n）\ cdot n）に変換できます。ここで、\ alpha（n）はAckermannの逆です）O （n ）O(n)O(n)A AAO （n ）O(n)O(n)[ n ] [n][n]O （n log …
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回路評価問題のための小さな回路
ましょうマッピング関数である -ゲート回路にビットとビット列XのC （Xが）。回路が割り当ての非循環シーケンスとしてエンコードされると仮定します。k ：= g （i 、j ）ここで、i 、j 、kはワイヤラベルです。 sCnnCircuitEvals,nCircuitEvals,n\mathsf{CircuitEval}_{s, n}sssCCCnnnnnnxxxC(x)C(x)C(x)k:=g(i,j)k:=g(i,j)k := g(i, j)i,j,ki,j,ki, j, k これはちょっとおかしい質問ですが、この問題の回路の複雑さの最もよく知られている上限は何ですか？この関数を計算するシングルテープTMがあるため、フィッシャー・ピッペンガーのシミュレーションでは、サイズO （（s + n ）2 log （s + n ））で十分です。二次は、前後にシークしなければならないことに由来します。もっと良くすることは可能ですか？サイズO （s + n ）で行うことは可能ですか？O((s+n)2)O((s+n)2)O((s + n)^2)O((s+n)2log(s+n))O((s+n)2log⁡(s+n))O((s + n)^2 \log(s + n))O(s+n)O(s+n)O(s + n)
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熱帯半環上の多項式のVC次元？
以下のように、この質問、私が興味を持って対 /問題のための熱帯および（\分、+）回路。この問題は、熱帯半環上の多項式のVC次元の上限を表示することになります（以下の定理2を参照）。 BPPBPP\mathbf{BPP}PP\mathbf{P}polypoly\mathrm{poly} (max,+)(max,+)(\max,+)(min,+)(min,+)(\min,+) ましょRRR半環なります。ゼロパターン配列の(f1,…,fm)(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)のmmmの多項式R[x1,…,xn]R[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]であるA部分集合S⊆{1,…,m}S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}が存在しているx∈Rnx∈Rnx\in R^nとy∈Ry∈Ry\in R全てに対してようi=1,…,mi=1,…,mi=1,\ldots,m、 fi(x)=yfi(x)=yf_i(x)= y IFF i∈Si∈Si\in S。すなわち、これらの多項式は正確のグラフであるfifif_iとi∈Si∈Si\in S点を打つ必要があり(x,y)∈Rn+1(x,y)∈Rn+1(x,y)\in R^{n+1}。（条件f私（x ）= yfi(x)=yf_i(x)=yをf_i（x）-y = 0に置き換えることができるため、「ゼロパターン」f私（x ）− y= 0fi(x)−y=0f_i(x)-y=0。）Z（m ）Z(m)Z(m) =最大dの次数のmmm多項式のシーケンスのゼロパターンの最大可能数。したがって、0 \ leq Z（m）\ leq 2 ^ mです。次数d多項式の Vapnik-Chervonenkis次元は VC（n、d）：= \ max \ {m \ colon Z（m）= 2 ^ m \}です。 ddd0 ≤ Z（M ）≤ 2m0≤Z(m)≤2m0\leq Z(m)\leq …
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基本対称多項式の単調な算術回路の複雑さ？
kkk番目の初等対称多項式Snk(x1,…,xn)Skn(x1,…,xn)S_k^n(x_1,\ldots,x_n)全ての合計であるの製品の異なる変数。この多項式の単調な算術回路の複雑さに興味があります。単純な動的プログラミングアルゴリズム（および以下の図1）は、ゲートを持つ回路を提供します。 k（+、×）（+、×）O（kn）(nk)(nk)\binom{n}{k}kkk(+,×)(+,×)(+,\times)(+,×)(+,×)(+,\times)O(kn)O(kn)O(kn) 質問： 下限は わかっていますか？ Ω(kn)Ω(kn)\Omega(kn) A回路であり、スキュー各積ゲートの2つの入力のうちの少なくとも一方が可変である場合。このような回路は、実際にはスイッチングと整流ネットワーク（変数でラベル付けされたエッジを持つ有向非巡回グラフです。各stパスはそのラベルの積を示し、出力はすべてのstパスの合計です）。すでに40年前、マルコフは驚くほどタイトな結果を証明しました最小単調算術スキュー回路には、正確に積ゲートがあります。アッパー。結合は、図1から次の (+,×)(+,×)(+,\times)SnkSknS_k^n k(n−k+1)k(n−k+1)k(n-k+1) しかし、スキューのない回線のこのような下限を証明する試みは見ていません。これは単なる私たちの「ar慢」なのでしょうか、それとも道に沿っていくつかの固有の困難が見られますか？ PS すべてのを同時に計算するには、ゲートが必要であることを知ってい。これは、0-1入力をソートするモノトーンブール回路のサイズの下限から始まります。Ingo Wegenerの本の 158ページを参照してください。また、AKSソートネットワークは、この（ブール型）ケースではゲートで十分であることを意味し。実際、バウアーとストラッセンは、の非単調な演算回路のサイズについて、厳密な境界を証明しました。しかし、単調な算術回路はどうでしょうか？S n 1、… 、S n nΩ(nlogn)Ω(nlog⁡n)\Omega(n\log n)Sn1,…,SnnS1n,…,SnnS_1^n,\ldots,S_n^nO （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n\log n)Θ （n logn ）Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n)Snn / 2Sn/2nS_{n/2}^n
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レギュラーvs TC0
Complexity Zooによれば、 あり、はカウントできないため、ことがわかります。ただし、\ mathsf {Reg} \ subseteq \ mathsf {TC ^ 0}かどうかはわかりません。私たちが知らないので、\ mathsf {NC ^ 1} \ない\ subseteq \ mathsf {TC ^ 0}我々はまた、知らない\ mathsf {レッグ} \ない\ subseteq \ mathsf {TC ^ 0} 。 R E G T C 0 ⊈ R E G R E G ⊆ T C 0 …
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単調関数を計算するために必要な否定の数は？
Razborovは、単調関数マッチングがmPにないことを証明しました。しかし、いくつかの否定を持つ多項式サイズの回路を使用してマッチングを計算できますか？マッチングを計算するO （nϵ）O(nϵ)O(n^\epsilon)否定を持つP / poly回路はありますか？否定の数とマッチングのサイズの間のトレードオフは何ですか？
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DAGのすべての長いstパスを破棄するのにどれくらいの費用がかかりますか？
1つのソースノードsssと1つのターゲットノード持つDAG（有向非巡回グラフ）を考えますttt。同じ頂点のペアを結合する平行なエッジが許可されます。kkk - カットが除去全て破壊辺の集合でありsss - tttパスよりも長いkkk。短いsss - tttパスと長い「内部」パス（sssと間ではないttt）は生き残ることができます！ 質問：kより長いすべてのs - tパスを破壊するために、DAGからエッジの 最大で約1 / k1/k1/k部分を削除するだけで十分ですか？ ssstttkkk つまり、e （G ）e(G)e(G)がのエッジの総数を示す場合GGG、すべてのDAG GGGは最大で約e （G ）/ kエッジのkkkカットがありますか？2つの例：e （G ）/ ke(G)/ke(G)/k 場合、すべての sss - tttパスの長さ持っ> k>k> k、その後、kkkとの留分≤ E （G ）/ K≤e(G)/k\leq e(G)/kエッジが存在します。これは、kkk独立したkkkカットが存在する必要があるためです。ソースノードsからの距離に従ってのノードをレイヤー化するだけです。 GGGsss場合G = TnG=TnG=T_nある推移トーナメント（完全DAG）、その後もA kkk留分と エッジが存在する：修正 トポロジカル順序をノードの場合、ノードを長さ連続した間隔に分割し 、同じ間隔のノードを結合するすべてのエッジを削除します。これは、kより長いすべて -パスを破壊します。 ≤ K （ N / K2） ≈E（G）/K≤k(n/k2)≈e(G)/k\leq …
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SATのNP硬さの最小の必要な低減の深さは？
誰もが知っているように、SATは wrt多項式時間多対一簡約に対して完全です。A C 0の多対一の削減についてはまだ完全です。N PNP\mathsf{NP}A C0AC0\mathsf{AC^0} 私の質問は、削減に最低限必要な深さは何ですか？より正式には、 SATがN P -hard wrt A C 0 d多対1還元であるような最小のは何ですか？dddN PNP\mathsf{NP}A C0dACd0\mathsf{AC^0_d} で十分だと思われますか？誰でも参照を知っていますか？A C02AC20\mathsf{AC^0_2}
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ACC回路のBeigel-Tarui変換
私は、AroraとBarakの計算の複雑さの本で、NEXPのACC下限に関する付録を読んでいます。 http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf 重要な補題の1つは、回路から、多対数次数と準多項式係数を持つ整数上の多重線形多項式への変換、または同様に、回路クラスは、多対数ファンインを備えた最下位レベルに準多項ANDゲート、最上位レベルに対称ゲートを備えた深さ2の回路のクラスです。ACC0ACC0ACC^{0}SYM+SYM+SYM^{+} 教科書の付録では、ゲートセットがOR、mod、mod、および定数構成されていると仮定して、この変換には3つのステップがあります。最初のステップは、ORゲートのファンインを多対数オーダーに減らすことです。3 1222333111 著者は、Valiant–Vazirani Isolation Lemmaを使用して、という形式の入力に対するORゲートが与えられた場合、をからまでのペアワイズ独立ハッシュ関数に選び、次にゼロ以外のに対して少なくとも確率で、ます。 OのRは、（X 1、。。。、xは2 K）H [ 2 K ] { 0 、1 } のx ∈ { 0 、1 } 2 、K 1 /（10 K ）Σ I ：H （I ）= 1 x i mod 22k2k2^{k}O R （x1、。。。、x2k）OR（バツ1、。。。、バツ2k）OR (x_{1},...,x_{2^{k}})hhh[ 2k][2k][2^{k}]{ 0 、1 }{0、1}\{ 0,1 \}X ∈ …
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一つは、証明することができ
結果1：Linial-Mansour-Nisanの定理によれば、回路で計算される関数のフーリエ重みは、小さなサイズのサブセットに高い確率で集中します。AC0AC0\mathsf{AC}^0 結果2：フーリエ係数は次数係数に集中しています。PARITYPARITY\mathsf{PARITY}nnn 質問：（証明可能な場合）が結果1および2を使用して、または使用して回路で計算できないことを証明する方法はありますか？PARITYPARITY\mathsf{PARITY}AC0AC0\mathsf{AC}^0
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機械特性評価
SACiSACiSAC^iは、アンバウンドファニンORゲートとバウンドファニンANDゲートを持つ深さ回路のファミリーによって解決可能な決定問題のクラスです。否定は入力レベルでのみ許可されます。それは、その知られているのために補数の下で閉鎖され、はありません。また、LogCFLは空間制限および多項式時間制限補助PDAで受け入れられる言語のセットであるため、であり、したがってマシンの特性があり。に対する同様のマシン特性はありますか？O(login)O(login)O({\log}^i{n})SACiSACiSAC^ii≥1i≥1i \geq 1SAC0SAC0SAC^0SAC1=LogCFLSAC1=LogCFLSAC^1 = LogCFLO(logn)O(logn)O({\log}n)SACiSACiSAC^ii≥2i≥2i \geq 2
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