タグ付けされた質問 「circuit-complexity」

回路の複雑さは、リソースに制限された回路と、そのような回路によって計算される機能の研究です。

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有界ツリー幅回路は何に適していますか？
一つは、話すことができるツリー幅は以下のようにして得られた線（頂点）の「moralized」グラフのツリー幅として定義する、ブール回路の：接続する配線とBたびbが有するゲートの出力である（入力として、または逆に）; 同じゲートへの入力として使用する場合は、ワイヤaとbを接続します。編集：回路のツリー幅を、それを表すグラフのツリー幅と同等に定義できます。結合性を使用してすべてのANDゲートとORゲートを書き直してファンインを最大2つにする場合、どちらの定義によるツリー幅も係数3まで同じです。aaabbbbbbaaaaaabbb333 一般的には扱いにくいが、制限されたツリー幅のブール回路では扱いやすいことがわかっている問題が少なくとも1つあります。各入力ワイヤが0または1に設定される確率（他とは独立）を与え、特定の出力ゲートは0または1です。これは通常＃2SATからの削減により＃P-hardですが、ジャンクションツリーアルゴリズムを使用して、ツリー幅が定数よりも小さいと想定される回路でPTIMEで解決できます。 私の質問は、確率論的計算以外に、一般的には扱いにくいが境界付きツリー幅回路では扱いやすいことが知られている他の問題があるかどうか、またはその複雑さは回路サイズとツリー幅の関数として説明できるかどうかを知ることです。私の質問はブールの場合に限定されません。他の半環上の算術回路にも興味があります。そのような問題はありますか？
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無限半環上のAdlemanの定理？
Adlemanは1978年にを示しました。n個の変数のブール関数がサイズMの確率論的なブール回路で計算できる場合、fは決定論でも計算できますMおよびnのサイズ多項式のブール回路。実際には、サイズはO （n M ）です。 FBPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}fffnnnMMMfffMMMnnnO(nM)O(nM)O(nM) 一般的な質問：上の他のどのようなsemirings（ブール値よりも）ありませんBPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}ホールド？ もう少し具体的には、確率回路CC\mathsf{C} 半環上(S,+,⋅,0,1)(S,+,⋅,0,1)(S,+,\cdot,0,1)その「添加」を使用(+)(+)(+)『と「乗算』（⋅ ）（⋅）(\cdot)オペレーションゲートとして。入力は入力変数でありバツ1、… 、xnバツ1、…、バツnx_1,\ldots,x_nおよび値取る追加のランダム変数のおそらくいくつかの数の000と111 確率で独立して1/21/21/2、ここで000 および111は、それぞれ半環の加法および乗法の恒等式です。そのような回路CC\mathsf{C} 計算与えられた関数f：Sn→ Sf：Sn→Sf:S^n\to Sのための場合、すべてのx∈Snx∈Snx\in S^n、Pr[C(x)=f(x)]≥2/3Pr[C(x)=f(x)]≥2/3\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3。 m個の変数 の投票関数 Maj(y1,…,ym)Maj(y1,…,ym)\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)は、要素yがy 1、… 、y mのうちm / 2回以上出現し、未定義の場合、値がyである部分関数です。、そのような要素yが存在しない場合。チェルノフとユニオンの境界の簡単な適用は次をもたらします。mmmyyyyyym/2m/2m/2y1,…,ymy1,…,ymy_1,\ldots,y_myyy 大部分のトリック：確率回路場合関数計算F ：S N → Sの有限集合にX ⊆ S Nは、あるM = O （ログ| X |）実現C 1、... 、CとMのCようにf （x ）= M a j（C 1（x ）、…CC\mathsf{C}f:Sn→Sf:Sn→Sf:S^n\to SX⊆SnX⊆SnX\subseteq …
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仮定の下で崩壊
場合ことが知られているN P ⊆ P / P O のL yは、次に多項式階層に崩壊Σ P 2及びM A = A M。NP⊆P/PolyNP\subseteq P/PolyΣP2\Sigma_2^{P}MA=AMMA = AM 何である場合に発生することが知られている最強の崩壊N E X P ⊆ P / P oをLのY？NEXP⊆P/PolyNEXP\subseteq P/Poly
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チューリングマシンに関してmP / polyの同等の定義は何ですか？
P / polyは、多項式サイズのブール回路のファミリーによって解決可能な決定問題のクラスです。あるいは、nのサイズ多項式であり、nのサイズのみに基づくアドバイス文字列を受け取る多項式時間チューリングマシンとして定義できます。 mP / polyは、多項式サイズの単調なブール回路のファミリーによって解決可能な決定問題のクラスですが、多項式時間チューリングマシンに関してmP / polyの自然な代替定義はありますか？
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自明でない均一な回路はありますか？
時間に実行されているアルゴリズムを考えると、我々は最大でサイズの同じ問題について、「些細な」均一な回路ファミリーに変換することができ≈ T （N ）ログトン（N ）。t(n)t(n)t(n)≈t(n)logt(n)≈t(n)log⁡t(n)\approx t(n)\log t(n) 一方、が最適な実行時間である場合でも、その問題に対してはるかに小さい均一な回路がある可能性があります。回路の生成にはt （n ）より長くかかる場合がありますが、小さいです。t(n)t(n)t(n)t(n)t(n)t(n) しかし、実際にそのようなものを構築する方法を知っていますか？最初に尋ねる質問は （1）非自明な均一回路、つまり同じ問題に対するアルゴリズムの最もよく知られている実行時間よりも小さいサイズの均一回路の建設的な例はありますか？ 今、問題がにある場合、徹底的な検索を使用して最適な回路を見つけるための指数時間アルゴリズムがあると考えています：nが与えられた場合、2つのすべての答えを書き留めますn個の入力（所要時間（2 n）t （n ））; 次に、すべての正解を提供するものが見つかるまで、n入力のすべての回路をサイズを増やしながら列挙します。検索は、単純な変換のサイズt （n ）logで終了しますDTIME(t(n))DTIME(t(n))\mathsf{DTIME(t(n))}nnn2n2n2^n(2n)t(n)(2n)t(n)(2^n)t(n)nnn、または関数の真理値表、 2 n個の出力がある場合は、{ 0 、1 }。（編集：トーマスは、シャノン/ルパノフによる境界が O （2 n / n ）であることを指摘しています。）t(n)logt(n)t(n)log⁡t(n)t(n) \log t(n)2n2n2^n{0,1}{0,1}\{0,1\}O(2n/n)O(2n/n)O(2^n/n) 我々が持っているので、「はい」と不十分な質問に対する（1）：上記のいずれかの時間のために懸命にある言語テイク、まだ決定可能に。上記の手順では、サイズ2 nの真理値表が出力されます。2n2n2^n2n2n2^n したがって、質問（1）を改良する必要があります。2つの最も興味深いケースは （2）多項式サイズの自明でない均一回路の建設的な例はありますか？（たとえ非常に遅いアルゴリズムによって生成されたとしても。） （3）多項式時間生成可能、多項式サイズの自明でない均一回路の建設的な例はありますか？ これは質問するには多すぎるかもしれません。簡単な質問はどうでしょうか：そのようなことが可能であることさえ知っていますか？おそらく、自明でない均一な回路は存在しないのでしょうか？ （4）次の文は、任意に対して偽であることがわかっていますか？（編集：O （2 N / N ）、おかげでトーマス。）「言語場合Lはサイズの均一な回路を有するO （S （n個の））、それは、時間で実行されているアルゴリズムを有する〜O（S （N ））。 」（もしそうなら、「均一」が「多項式時間均一」、「ログスペース均一」などに置き換えられた場合はどうでしょうか？）s(n)=o(2n)s(n)=o(2n)s(n) = …
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マジョリティ関数の回路の複雑さ
ましょう大部分の機能、すなわち、であるF （X ）= 1の場合に限りΣ N iが= 1、X I > N / 2。次の事実の単純な証拠があるのだろうかと思っていました（「単純」とは、Valiant 84のような確率的手法やネットワークのソートに依存しないことを意味します。f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}f(x)=1f(x)=1f(x) = 1∑ni=1xi>n/2∑i=1nxi>n/2\sum_{i = 1}^n x_i > n/2 は、 O （log （n ））深さ、poly（n）サイズの回路ファミリで計算できます。ここで、ゲートはNOTゲート、2入力ORゲート、2入力ANDゲートで構成されます。fffO(log(n))O(log⁡(n))O(\log(n))
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回路の評価
回路評価の問題がN C 1にあるかどうかはわかっていますか？どのようにA L O G T iがm個の電子（均一 N C 1）？NC1NC1\mathsf{NC^1}NC1NC1\mathsf{NC^1}ALogTimeALogTime\mathsf{ALogTime}NC1NC1\mathsf{NC^1} 我々は、深さの回路ことを知って深さの回路で評価することができ、K + C cは普遍定数です。これは、深さk lg n + o （lg n ）の回路が深さO （lg n ）の回路によって評価できることを意味します。ただし、O （lg n ）には、最終的にO （lg n ）のすべての関数を支配する関数が含まれていません。kkkk+ck+ck+ccccklgn+o(lgn)klg⁡n+o(lg⁡n)k\lg n + o(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n)O(lgn)O(lg⁡n)O(\lg n) 数式評価の問題はことがわかっています。すべてのN C 1回路はブール式と同等です。A L o g T i m eの特定のN C 1回路の論理式から、同等のブール式の拡張接続表現を計算することはできませんか？ALogTimeALogTime\mathsf{ALogTime}NC1NC1\mathsf{NC^1}NC1NC1\mathsf{NC^1}ALogTimeALogTime\mathsf{ALogTime} …
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ノイズの多いブール関数の硬さ
してみましょうブール関数であるn個のブール変数。ましょうG （X ）= T ε（F ）（xは）の期待値であるF （Y ）Yがから得られるX各確率と座標反転によってε / 2。fffnnng(x)=Tϵ(f)(x)g(x)=Tϵ(f)(x)g(x)=T_\epsilon (f) (x)f(y)f(y)f(y)yyyxxxϵ/2ϵ/2\epsilon/2 を近似するのが計算上困難な場合に興味があります。私は"近似"の概念を固定してみましょう（他のものがあってもよい）：ブール関数Hは近似gであれば、H （xは）= 1ときG （X ）≥ 0.9とH （xは）= 0場合、G （Xは）≤を0.1ggghhhgggh(x)=1h(x)=1h(x)=1g(x)≥0.9g(x)≥0.9g(x)\ge 0.9h(x)=0h(x)=0h(x)=0 g(x)≤0.1g(x)≤0.1g(x)\le 0.1（正のレートエラー修正コードの存在に基づく）カウント引数は、そのような近似には指数サイズの回路が必要なブール関数があることを示しているようです。しかし、問題は、最初にがNPまたはその近傍にあるときに何が起こるかです。fff Q1：の例でありすべてようNP回路（またはP-空間）によって記載さhは NP困難である、またはいくつかのより弱い意味でハード。fffhhh それを参照するには、我々は大きさのクリーク持つのグラフの性質を検討することができます（私はそれについての有益な議論のためのヨハン・ハスタッドに感謝）必ずしも容易ではないかもしれませんnは1 / 4ランダムな入力のために、それが困難であると考えられます大きなクリークが存在するかどうかを検出しますが、これはノイズの多いグラフにlog nのサイズのクリークが予想以上にあることで現れます。この場合、任意のhは難しい可能性があります（ただし、証明できず、準多項式回路が伝えるほどひどく難しくありません）。hhhn1/4n1/4n^{1/4}hhh Q2：開始する複雑さが低い場合はどうなりますか。（A C 0、モノトーンT C 0、A C Cなど）fffAC0AC0AC^0TC0TC0TC^0ACCACCACC Q3：ブール関数のいくつかの基本的な例の状況はどうなっていますか。（質問は実数値関数にも拡張できます。） Q4：計算の均一（チューリングマシン）モデルについて、上記の質問を正式に求めることはできますか？ 更新：アンディの答えを見て（こんにちは、アンディ）最も興味深い質問は、さまざまな特定の機能の状況を理解することだと思います。 別の質問Q5 [モノトーン関数のQ1]を更新します（これもAndyの答えを考慮して）。が単調な場合はどうなりますか？NPの完全な質問を引き続き堅牢にエンコードできます>fff
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下限を取得するためにランダムな制限を使用することは可能
ランダムな制限とスイッチング補題に基づいて、いくつかの有名なA C0AC0\mathsf{AC^0}回路サイズの下限結果があります。 T C0TC0\mathsf{TC^0}回路の下限を証明するために、スイッチング補題の結果を開発できますか（下限証明と同様A C0AC0\mathsf{AC^0}）。 または証明するため、このアプローチ使用する任意の固有の障害物が存在する低境界は？T C0TC0\mathsf{TC^0} Natural Proofsのようなバリアの結果は、下限を証明するためのテクニックのようなスイッチング補題の使用に関して何かを述べていますか？T C0TC0\mathsf{TC^0}
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Lには、回路に関して定義がありますか？
チューリングマシンで定義された多くの複雑度クラスには、均一な回路に関する定義があります。たとえば、Pは均一な多項式サイズの回路を使用して定義することもでき、同様にBPP、NP、BQPなども均一な回路で定義できます。 それでは、回路ベースのLの定義はありますか？ 明らかなアイデアは、ある程度の深さ制限のある多項式サイズの回路を許可することですが、これはNC階層を定義することになります。 私はずっと前にこの質問について考えていましたが、答えが見つかりませんでした。正しく覚えていれば、私の動機は、Lの量子アナログがどのように見えるかを理解することでした。
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DLogTimeおよびNLogTimeの回路の複雑さの特性化
DLogTimeDLogTime\mathsf{DLogTime}とNLogTimeNLogTime\mathsf{NLogTime}は、2つの最小の複雑度クラスです。（対数時間階層LHLH\mathsf{LH}は等しくAC0AC0\mathsf{AC}^0、これらは最初の2レベルであることに注意してくださいLHLH\mathsf{LH}）。 この読んだ後に質問を、私はこの2つのクラス間の分離が知られているかどうかを確認するために興味となり、実際には、以来、それらを分離することは容易である。（ロビンコタリのおかげでも参照公知OR(x1,...,xn)∈NLogTime−DLogTimeOR(x1,...,xn)∈NLogTime−DLogTimeOR(x_1,...,x_n) \in \mathsf{NLogTime}-\mathsf{DLogTime}）。今、私はそれらに対応する回路の複雑性の特徴を知ることに興味があります。私は少し検索して、数人に尋ねましたが、答えを見つけることができませんでした。 複雑度クラスおよびN L o g T i m eの回路複雑度の特性評価はありますか？DLogTimeDLogTime\mathsf{DLogTime}NLogTimeNLogTime\mathsf{NLogTime} 注：は、小さな複雑さのクラスの均一性を定義する上で多くのことを示しています。時間制限が短いため、これらのマシンは入力全体を読み取ることができず、入力からlg nビットしか読み取ることができず、クラスはビットのアドレスを書き込み、そのビットを直接読み取ることができるマシンを使用して定義されます（すなわち、そこに到達するために以前のすべてのビットを調べる必要はありません）。DLogTimeDLogTime\mathsf{DLogTime}lgnlg⁡n\lg n
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ニューラルネットワークの計算能力？
k個の入力と1つの出力を持つ単一層のフィードフォワードニューラルネットワークがあるとします。それは関数から算出 、それはこのように少なくとも同じ計算能力を有していることを確認するために、かなり簡単ですA C 0。楽しみのために、単層ニューラルネットワークで計算可能な関数セットを「N e u r a l」と呼びます。{ 0 、1 }n→ { 0 、1 }{0、1}n→{0、1}\lbrace 0,1\rbrace ^{n}\rightarrow\lbrace 0,1\rbrace A C0AC0AC^0NE Uはrは、LをNeあなたはralNeural ただし、単独よりも計算能力が高い可能性があるようです。A C0AC0AC^0 そう...される、またはされ、Nは、E uはrは、L = A C 0？また、この種の複雑性クラスは以前に研究されましたか？A C0⊆ NE Uはrは、LをAC0⊆NeあなたはralAC^0 \subseteq NeuralNe u r a l = A C0Neあなたはral=AC0Neural = AC^0
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回路の複雑さを持つ関数の階層化されたブール回路はどれくらい小さくできますか？
基底のサイズ入力を持つブール回路によって計算される関数考えます（ゲートの次数2 ）。C n s （n ）= p o l y（n ）{ X O R、A N D、NfffCCCnnns(n)=poly(n)s(n)=poly(n)s(n) = \mathsf{poly}(n){XOR,AND,NOT}{XOR,AND,NOT}\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}XOR,ANDXOR,AND\mathsf{XOR},\mathsf{AND} ブール回路は、2つのゲート間の任意のエッジが隣接するレイヤーを接続するように、ゲートの層（は回路の深さ）に配置できる場合、レイヤー化されます。dddddd ことを考えるとサイズのブール回路持っている、私たちは、積層回路コンピューティングの大きさについて何を言うことができる？些細な上限があります：エッジが交差する各レイヤーでダミーノードを追加することにより、最大でサイズのレイヤード回路を取得します。しかし、一般的には改善できますか（例：、または）、または興味深いクラスの回路のために？s f C O （s 2）fffsssfffCCCO(s2)O(s2)O(s^2)O(s⋅logs)O(s⋅log⁡s)O(s\cdot \log s)O(s)O(s)O(s) バックグラウンド。この質問は、通信（例：s / log sまたはs / log log s ）でサイズ層状ブール回路を安全に計算する方法を示す暗号の最近の結果から生じています。私は、一般的な回路または「自然な」回路のいずれかで、このブール論理回路への制限が実際にどれほど制限的であるかを理解しようとしています。ただし、文献では層状回路についてはあまり見つけていません。適切なポインタも歓迎されます。ssso(s)o(s)o(s)s/logss/log⁡ss/\log ss/loglogs)s/log⁡log⁡s)s/\log\log s)
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SATは文脈自由言語ですか？
私はすべての充足可能な命題論理式の言語、SATを考えています（これが有限のアルファベットを持っていることを保証するために、私たちは何らかの適切な方法で命題文字をエンコードします[編集：エンコーディングが異なるため、より具体的にする必要があります。以下の私の結論を参照してください）。私の簡単な質問は あるSATは、文脈自由言語？ 私の最初の推測は、今日（2017年初頭）の答えは「これは複雑性理論の未解決の問題に関連しているため、誰も知らない」ということでした。ただし、これは完全に偽ではありませんが、実際には真実ではありません（下記の回答を参照）。ここに、私たちが知っていることの簡単な要約を示します（いくつかの明らかなことから始めます）。 SATは規則的ではありません（括弧が一致するため命題論理の構文でさえ規則的ではないため） SATは状況依存です（それにLBAを与えるのは難しくありません） SATはNP完全（クック/レビン）であり、特に多項式時間で非決定的なTMによって決定されます。 SATは、一方向の非決定的スタックオートマトン（1-NSA）でも認識できます（WCラウンド、中間レベル言語での認識の複雑さ、スイッチングとオートマトン理論、1973、145-158 http://dx.doi.org/を参照してください）10.1109 / SWAT.1973.5） コンテキストフリー言語の単語の問題には、独自の複雑度クラスCFLCFL\textbf{CFL}（https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cflを参照） 、 LOGCFLは、問題のクラスであるが、に還元LOGSPACE CFL（参照https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl）。これは、ことが知られている NL ⊆ LOGCFL。CFL⊆LOGCFL⊆AC1CFL⊆LOGCFL⊆AC1\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}CFLCFL\textbf{CFL}NL⊆LOGCFLNL⊆LOGCFL\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL} これは、かどうかは知られていないまたは（実際には、でも開いている、私は思いますこれは、S。アロラ、B。バラク：計算の複雑さ：モダンアプローチ ; Cambridge University Press 2009）から入手しました。したがって、にないことがわかっている完全な問題はありません。したがって、SATがある場合は不明である必要があります。NL⊊NPNL⊊NP\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}NL=NPNL=NP\textbf{NL}=\textbf{NP}NC1⊊PHNC1⊊PH\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}NPNP\textbf{NP}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL} ただし、この最後の点では、SATがにないことがわかっている可能性が残っています。一般に、質問の認識状態を明確にするのに役立つ可能性のあるNC階層とCFLの関係についてはあまり見つけることができませんでした。CFLCFL\textbf{CFL}CFLCFL\textbf{CFL}NCNC\textbf{NC} 備考（最初の回答を見た後）：論理式が連言標準形になるとは思っていません（これは回答の本質に違いをもたらさず、CNFも数式であるため、通常は引数が適用されます。構文に括弧が必要なため、問題の変数の定数バージョンは定期的に失敗すると主張します。 結論：私の複雑性理論にヒントを得た推測に反して、SATはコンテキストフリーではないことを直接示すことができます。したがって、状況は次のとおりです。 命題変数が2進数で識別される式の「直接」エンコーディングを使用するという仮定の下で、SATはコンテキストフリーではないことが知られています（言い換えると、SATはありません）演算子および区切り文字用）。CFLCFL\textbf{CFL} SATがに含まれているかどうかはわかりませんが、「ほとんどの専門家はそうではない」と考えています。これは、P = NPを意味するからです。これはまた、SATの他の「合理的な」エンコーディングがコンテキストフリーであるかどうかが不明であることを意味します（NP困難な問題の場合、ログスペースは許容可能なエンコーディング作業であると想定します）。LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}P = NPP=NP\textbf{P}=\textbf{NP} これら2つの点が意味するものではありませんのでご注意。これは、コンテキストフリーではない言語（たとえば、a n b n c n）がLにある（したがってLOGCFLにある）言語があることを示すことで、直接表示できます。CFL ⊊ LOGCFLCFL⊊LOGCFL\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}LL\textbf{L}LOGCFLLOGCFL\textbf{LOGCFL}anbncnanbncna^nb^nc^n
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算術回路はブール値よりも弱いですか？
LET （非単調）演算の意味最小サイズ（+ 、× 、- ）指定された多重線形多項式演算回路 F （X 1、... 、xはN）= Σ E ∈ E C 、E 、N Π I = 1 x e i iA(f)A(f)A(f)(+,×,−)(+,×,−)(+,\times,-) および B （F ）示す（非単調）ブール値の最小サイズ（∨ 、∧ 、¬ ）演算回路ブールバージョン F Bの Fによって定義される： F B（X 1、... 、xはN）= ⋁ E ∈ E ⋀ I ：E I ≠ 0のx If(x1,…,xn)=∑e∈Ece∏i=1nxeii,f(x1,…,xn)=∑e∈Ece∏i=1nxiei, f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in …
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