ノイズの多いブール関数の硬さ

してみましょうブール関数であるn個のブール変数。ましょうG （X ）= T ε（F ）（xは）の期待値であるF （Y ）Yがから得られるX各確率と座標反転によってε / 2。$f$$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

を近似するのが計算上困難な場合に興味があります。私は"近似"の概念を固定してみましょう（他のものがあってもよい）：ブール関数Hは近似gであれば、H （xは）= 1ときG （X ）≥ 0.9とH （xは）= 0場合、G （Xは）≤を$g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$（正のレートエラー修正コードの存在に基づく）カウント引数は、そのような近似には指数サイズの回路が必要なブール関数があることを示しているようです。しかし、問題は、最初にがNPまたはその近傍にあるときに何が起こるかです。$f$

Q1：の例でありすべてようNP回路（またはP-空間）によって記載さhは NP困難である、またはいくつかのより弱い意味でハード。$f$$h$

それを参照するには、我々は大きさのクリーク持つのグラフの性質を検討することができます（私はそれについての有益な議論のためのヨハン・ハスタッドに感謝）必ずしも容易ではないかもしれませんnは1 / 4ランダムな入力のために、それが困難であると考えられます大きなクリークが存在するかどうかを検出しますが、これはノイズの多いグラフにlog nのサイズのクリークが予想以上にあることで現れます。この場合、任意のhは難しい可能性があります（ただし、証明できず、準多項式回路が伝えるほどひどく難しくありません）。$h$$n^{1/4}$$h$

Q2：開始する複雑さが低い場合はどうなりますか。（A C 0、モノトーンT C 0、A C Cなど）$f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

Q3：ブール関数のいくつかの基本的な例の状況はどうなっていますか。（質問は実数値関数にも拡張できます。）

Q4：計算の均一（チューリングマシン）モデルについて、上記の質問を正式に求めることはできますか？

更新：アンディの答えを見て（こんにちは、アンディ）最も興味深い質問は、さまざまな特定の機能の状況を理解することだと思います。

別の質問Q5 [モノトーン関数のQ1]を更新します（これもAndyの答えを考慮して）。が単調な場合はどうなりますか？NPの完全な質問を引き続き堅牢にエンコードできます>$f$

質問1の答えは「はい」であり、次のように表示できます。（引数が均一であり、すべての入力長を一度に処理するため、Q4に対する肯定的な回答も暗黙的にスケッチします。）

NP完全言語、および適切なバイナリエラー修正コードのファミリを修正します（レート1/4、エラーの0.1分の1から修正など）。LET E N C N：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 } 4 Nの長さの符号化関数であるN。E n c = { E n c n }が均一な多項式時間アルゴリズムで計算可能なコードを使用します。$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

を、最大で.05以内の距離内にある文字列zのセットとして定義します。z | コードワードからY ∈ E N C （L ）のいくつかの要素をコードLを。注意Lは、「あなたは近くのコードワード、デコードされた単語、およびでデコードされた単語の会員のためのNP証推測し、チェックすることができるよう、NPであるLを。 $L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

そして、あなたの意味での「近似」はε = .01 に対して NP困難であるという主張です。我々は、有効なコードワード考慮する場合について、Y = E N Cを（X ）、いくつかの長さの4 nは、その後の確率で、1 - O （1 ）ランダムオーバーεバージョン-perturbed Y "のyは、それがに反対しますYせいぜいで座標の.05分数であり、したがってE n cの他のコードワードとは一致しません$L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$座標の.05を超える割合の n。こうしたについて Y "我々は持っているのyを" ∈ L " IFFのx ∈ L。したがって、 hが L ′の ε平滑化されたバージョンの近似である場合、 h （y ）= L （x ）でなければなりません。E N cが効率的に計算可能である、これは私達に効率のメンバーシップ質問減らす方法与え Lのためのものに時間を。そう$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$はNP困難です。$h$

2つのメモ：

（1）NPインスタンスのエラー訂正エンコーディングは、特に
D. Sivakumar：メンバーシップ比較可能セットについてのいくつかの論文で以前に使用されました。J.計算 システム。科学 59（2）：270-280（1999）。

（2）もちろん、エラー修正はインスタンスごとに適用されるため、NPの問題の平均的なケースの複雑さについては、上記の議論は何も述べていません。