回路の複雑さを持つ関数の階層化されたブール回路はどれくらい小さくできますか？

基底のサイズ入力を持つブール回路によって計算される関数考えます（ゲートの次数2 ）。 $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

ブール回路は、2つのゲート間の任意のエッジが隣接するレイヤーを接続するように、ゲートの層（は回路の深さ）に配置できる場合、レイヤー化されます。 $d$ $d$

ことを考えるとサイズのブール回路持っている、私たちは、積層回路コンピューティングの大きさについて何を言うことができる？些細な上限があります：エッジが交差する各レイヤーでダミーノードを追加することにより、最大でサイズのレイヤード回路を取得します。しかし、一般的には改善できますか（例：、または）、または興味深いクラスの回路のために？ $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

バックグラウンド。この質問は、通信（例：またはでサイズ層状ブール回路を安全に計算する方法を示す暗号の最近の結果から生じてい。私は、一般的な回路または「自然な」回路のいずれかで、このブール論理回路への制限が実際にどれほど制限的であるかを理解しようとしています。ただし、文献では層状回路についてはあまり見つけていません。適切なポインタも歓迎されます。 $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— ジェフロワ・クトー
ソース

これは、サイズが大幅に大きくなることなく、階層化された回路に変換するのが難しいと思われる回路の例です。定義

のサイズで計算することができるいくつかの関数である

。定義

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

、およびlet

こと

の反復

。次に、

サイズは

です。

より小さいサイズの層状の回路を構築するのは難しいようです。したがって、

場合、おそらく、回路のサイズと階層化された回路のサイズとの間にギャップがあることを予想する必要があります。証明ではなく、直感を駆り立てる示唆的な例にすぎません。

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

私が覚えている限り、層状回路の場合、最もよく知られている下限は

形式です。

対

関数の証明は特に簡単です。、線形マップ例えば、取る

ここで

主対角線のみにゼロを有しています。次に、すべてのレイヤーに少なくとも

ゲートが必要であり、レイヤーの数は少なくとも

です。この関数は、サイズ

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

O (n)

$O(n)$ 。単一出力関数の場合、同じ下限を証明することもできますが、引数を覚えていません。

— アレクサンダーS.クリコフ

コメントありがとうございます。@ AlexanderS.Kulikov、あなたの議論は民間伝承ですか、それとも階層化された回路での作品へのポインタがありますか？

理にかなって-私は小さい何かにとても驚きだっただろう-しかし、である

のみ上限知られていますか？

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— ジェフロワクトー

はい、それは民間伝承だと思います。

上限について質問があるかどうかわかりません。次の論文をご覧ください。cs.utexas.edu / 〜panni / sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Alexander S.

一般に、

変換よりも良いことは知らないと思います。サイズ

および深さ

回路は、最大で

サイズの層状回路に変換できることに注意してください。（最悪の場合、サイズ

回路が得られます。）レイヤード回路のサイズの

下限を証明できれば、これはこの関数の対数深さ回路のサイズの超線形下限を教えてください。この質問は40年以上にわたって未解決のままです。

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— アレックスゴロフネフ

私の知る限り、3種類の階層回路が研究されています。これらすべての定義では、アークは2つの隣接するレイヤー間でのみ許可されます。

回路が呼び出される同期（ハーパー1977すべてのゲートが層に配置されている場合）、入力が層0でなければならない（同等の定義：いずれかのゲートのための $g$ への入力からすべてのパス $g$ 同じ長さを有します。）
回路はローカルに同期しています（Belaga 1984各入力が1回だけ任意のレイヤーで発生する場合、）。
ゲートと入力がレイヤーに配置されている場合、回路はレイヤー化されます（Gál、Jang 2010）。入力は異なるレイヤーで複数回発生する可能性があります。（同等の定義：任意のゲート $g$ および出力ゲート $o$ 、 $g$ から $o$ へのすべての有向パスの長さは同じです。）

3つのクラスが最も弱いものから最も強いものの順にリストされていることは簡単にわかります（無制限の回路のクラスはさらに強力です）。

サイズ $s$ 無制限の回路を計算する階層化された回路のサイズに関して、次ことを知っています。

サイズ $s$ 任意の回路は、サイズ $s^2$ 同期/ローカル同期/階層化回路によって計算できます（Wegener 1987、Section 12.1）。
サイズ $\omega(s\log{s})$ 同期/局所同期/層状回路を必要とする明示的な関数を見つけるのは難しいはずです。実際、サイズ $s$ および深さ $d$ すべての回路は、サイズ $O(sd)$ 同期回路によって計算できます（Wegener 1987、Section 12.1）。したがって、我々は、明示的な機能があっても $f$ サイズの同期回路が必要 $\omega(n\log{n})$ 、次いで（関係なく無制限回路のクラスにおけるその複雑さ）、 $f$ 深さ $O(\log{n})$ およびサイズ $O(n)$ 回路では計算できません。これは、回路の複雑性における長年の未解決の問題に答えます（Valiant 1977）。
明示的な関数が存在します

3.1。同期回路では $\Omega(n\log{n})$ 下限、局所同期回路では上限（Turán1989 $O(n)$ ）。

3.2. with $\Omega(n\log{n})$ lower bound for locally synchronous circuits but $O(n)$ upper bound for layered circuits (Turán 1989).

It is important to note that these two separation results by Turán are proven for functions with one output. It is often much easier to find a function with $n$ outputs which separates two such classes.

As an example, consider the function $f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ where the $i$ th output bit is an XOR of all inputs except for the $i$ th one. This function can easily be computed by a layered circuit of size $O(n)$ : First compute an XOR of all inputs in $\log{n}$ layers of total size $n$ , then compute all outputs in one layer of size $n$ . On the other hand, $f$ requires synchronous circuits of size $\Omega(n\log{n})$ . Indeed, in order to compute a parity of length $n-1$ , the circuit depth must be at least $\Omega(\log{n})$ . On the other hand, each layer must transmit $n$ bits of information, thus its size must be at least $n$ .

— Alex Golovnev
ソース