無限半環上のAdlemanの定理？

Adlemanは1978年にを示しました。n個の変数のブール関数がサイズMの確率論的なブール回路で計算できる場合、fは決定論でも計算できますMおよびnのサイズ多項式のブール回路。実際には、サイズはO （n M ）です。 $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$$f$$n$$M$$f$$M$$n$$O(nM)$

一般的な質問：上の他のどのようなsemirings（ブール値よりも）ありません$\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ホールド？

もう少し具体的には、確率回路$\mathsf{C}$ 半環上$(S,+,\cdot,0,1)$その「添加」を使用$(+)$『と「乗算』$(\cdot)$オペレーションゲートとして。入力は入力変数であり$x_1,\ldots,x_n$および値取る追加のランダム変数のおそらくいくつかの数の$0$と$1$ 確率で独立して$1/2$、ここで$0$ および$1$は、それぞれ半環の加法および乗法の恒等式です。そのような回路$\mathsf{C}$ 計算与えられた関数$f:S^n\to S$のための場合、すべての$x\in S^n$、$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$。

m個の変数 の投票関数 $\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$は、要素yがy 1、… 、y mのうちm / 2回以上出現し、未定義の場合、値がyである部分関数です。、そのような要素yが存在しない場合。チェルノフとユニオンの境界の簡単な適用は次をもたらします。$m$$y$$y$$m/2$$y_1,\ldots,y_m$$y$

大部分のトリック：確率回路場合関数計算F ：S N → Sの有限集合にX ⊆ S Nは、あるM = O （ログ| X |）実現C 1、... 、CとMのCようにf （x ）= M a j（C 1（x ）、$\mathsf{C}$$f:S^n\to S$$X\subseteq S^n$$m=O(\log|X|)$$C_1,\ldots,C_m$$\mathsf{C}$全てに当てはまるのx ∈ X。 $f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$$x\in X$

ブール半環上では、投票関数は多数決関数であり、小さな（単調な）回路を持っています。だから、エーデルマンの定理をとることにより、以下のX = { 0 、1 } N。 $\mathrm{Maj}$$X=\{0,1\}^n$

しかし、他の（特に無限の）セミリングはどうでしょうか？何についての算術半環（通常の加算と乗算して）？$(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

質問1：ん算術半環上ホールド？ $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

私は「はい」に賭けていますが、これを示すことはできません。

備考：私はこれを認識してい論文著者が主張実フィールド上（R、+ 、⋅ 、0 、1 ）。それらは非単調な算術回路を扱い、また、出力ゲートとして投票関数M a jを持つ回路に到達します（定理4）。しかし、算術回路によってこのM a j -gate をシミュレートする方法（単調であるかどうか）つまり、Corollary 3の入手方​​法は？$\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$$(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$$\mathrm{Maj}$$\mathrm{Maj}$

実際、モスクワ大学のセルゲイ・ガシコフが私に語った次の簡単な議論は、これが不可能であることを示しているようです（少なくとも多項式のみを計算できる回路の場合）。を多項式f （x 、y 、z ）= a x + b y + c z + h （x 、y 、z ）として表現できると仮定します。それからf $\mathrm{Maj}(x,y,z)$$f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$c = 0を意味し、 f （x 、y 、x ）= xはb = 0を意味し、 f （x 、y 、y ）= yはa = 0を意味します。これは、ゼロ特性のフィールドでは、多項式関数の等式が係数の等式を意味するためです。質問1では、確率回路の範囲、したがって Mの領域に注意してください。$f(x,x,z)=x$$c=0$$f(x,y,x)=x$$b=0$$f(x,y,y)=y$$a=0$ゲート型である無限。私は、したがってのみ演算回路と連動紙取引が関数を計算するような印象た fは：R N → Y小さな有限では範囲 Yのような、 Y = { 0 、1 }。そうすると、 M a j：Y m → Yは、演算回路で簡単に計算できます。しかし、 Y = Rの場合はどうでしょうか？ $\mathrm{Maj}$$f:\mathbb{R}^n\to Y$$Y$$Y=\{0,1\}$$\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$$Y=\mathbb{R}$

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修正 [2017年3月6日]：パスカルKoiran（この論文の著者の一人は）彼らのモデルは単なる演算回路よりも強力であることを私に指摘：彼らはサインゲート（outputing許可または1を入力する負であるかどうかに応じて、ない）。そのため、このモデルでは投票関数Maj をシミュレートでき、「混乱」を取り戻します。$0$$1$

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動的プログラミングの文脈において、特に興味深いのために同じ問題である 熱帯分プラスとmaxプラスsemirings と （N ∪ { - ∞ } 、maxは、+ 、− ∞ 、0 ）。$(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$$(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$

質問2：ん熱帯semirings上ホールド？ $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

保持これら二つsemiringsでは、これは、ランダムできないスピードアップいわゆる「純粋な」動的プログラミングアルゴリズムを意味します！これらのアルゴリズムは、再帰で最小/最大および合計演算のみを使用します。Bellman-Ford、Floyd-Warshall、Held-Karp、および他の多くの著名なDPアルゴリズムは純粋です。 $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

これまでのところ、 最小プラス半環（最小化）で P r [ C（x ）< f （x ）] = 0を追加で要求する場合、片側エラーシナリオで質問2（肯定的）にのみ答えることができます。 P r [ C（x ）> f （x ）] = 0$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$max-plus semiringで（最大化）。つまり、ランダム化されたトロピカルサーキットが最適な値よりも優れた値を生成することはできません。ただし、いくつかの最適な値よりも悪い値を指定すると、エラーが発生する可能性があります。しかし、私の質問は、両面エラーのシナリオの下にあります。

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PSは、 [2017年2月27日追加]：ここで質問1（肯定的に）答えるために私の試みです。その考えは、「単純なNullstellensatz」のバージョンと、エルドスとスペンサーによるn部分ハイパーグリップのZarankiewicz問題の推定値を組み合わせることです。この後者の結果を法として、引数全体が基本です。

質問2はまだ開かれたままであることに注意してください。「素朴なNullstellensatz」（少なくとも私が使用した形式では）は熱帯半島では成り立ちません。

これはあなたの一般的な質問に対する部分的な答えにすぎません（完全に一般的な定式化がどうなるかはわかりません）が、ランダム性を有限領域に制約しながら十分に素晴らしい無限半環を扱うと、実際に問題を自明にするかもしれないことを示唆していますAdlemanの定理が成り立ちます。

回路がそのフィールド上の多項式を計算するように複素数を操作しており、関数f自体がx変数の多項式（ただし複雑）によって計算されていると仮定します。次に、いくつかの固定されたrに対して、C （x 、r ）= f （x ）であることがわかります。その理由は、それぞれについてということであるR、一組のXとC （X 、R ）= F （X ）のザリスキ閉サブセットを決定します$\mathbb{C}$$f$$x$$r$$C(x,r) = f(x)$$r$$x$$C(x,r) = f(x)$、すべて C nであるか、メジャー0のサブセットでなければなりません。これらのセットのすべてのメジャーゼロを有するようにした場合のみ有限多く存在するため、次に、R「sは考慮して、一連のxはここ∃R：C（X、R）=F（xは）も尺度ゼロを有することになります。一方、Cがfを計算するという仮定は、集合がすべて C nでなければならないことを意味するため、ゼロを測定することはできません。$\mathbb{C}^n$$\mathbb{C}^n$$r$$x$$\exists r : C(x,r) = f(x)$$C$$f$$\mathbb{C}^n$