自明でない均一な回路はありますか？

時間に実行されているアルゴリズムを考えると、我々は最大でサイズの同じ問題について、「些細な」均一な回路ファミリーに変換することができ。 $t(n)$ $\approx t(n)\log t(n)$

一方、が最適な実行時間である場合でも、その問題に対してはるかに小さい均一な回路がある可能性があります。回路の生成にはより長くかかる場合がありますが、小さいです。 $t(n)$ $t(n)$

しかし、実際にそのようなものを構築する方法を知っていますか？最初に尋ねる質問は

（1）非自明な均一回路、つまり同じ問題に対するアルゴリズムの最もよく知られている実行時間よりも小さいサイズの均一回路の建設的な例はありますか？

今、問題がにある場合、徹底的な検索を使用して最適な回路を見つけるための指数時間アルゴリズムがあると考えています：与えられた、すべての答えを書き留めます入力（所要時間）; 次に、すべての正解を提供するものが見つかるまで、入力のすべての回路をサイズを増やしながら列挙します。検索は、単純な変換のサイズ終了し $\mathsf{DTIME(t(n))}$ $n$ $2^n$ $(2^n)t(n)$ $n$ 、または関数の真理値表、の出力がある場合は。（編集：トーマスは、シャノン/ルパノフによる境界がことを指摘しています。） $t(n) \log t(n)$ $2^n$ $\{0,1\}$ $O(2^n/n)$

我々が持っているので、「はい」と不十分な質問に対する（1）：上記のいずれかの時間のために懸命にある言語テイク、まだ決定可能に。上記の手順では、サイズ真理値表が出力されます。 $2^n$ $2^n$

したがって、質問（1）を改良する必要があります。2つの最も興味深いケースは

（2）多項式サイズの自明でない均一回路の建設的な例はありますか？（たとえ非常に遅いアルゴリズムによって生成されたとしても。）

（3）多項式時間生成可能、多項式サイズの自明でない均一回路の建設的な例はありますか？

これは質問するには多すぎるかもしれません。簡単な質問はどうでしょうか：そのようなことが可能であることさえ知っていますか？おそらく、自明でない均一な回路は存在しないのでしょうか？

（4）次の文は、任意偽であることがわかっていますか？（編集：、おかげでトーマス。）「言語場合サイズの均一な回路を有する、それは、時間で実行されているアルゴリズムを有する。」（もしそうなら、「均一」が「多項式時間均一」、「ログスペース均一」などに置き換えられた場合はどうでしょうか？） $s(n) = o(2^n)$ $o(2^n/n)$ $L$ $O(s(n))$ $\tilde{O}(s(n))$

最後に、上記の質問が難しすぎる場合、

（5）アルゴリズムを回路に単純に変換する（または真理値表を書き留める）だけではない、均一な回路ファミリの構造はありますか？

追記。私がこれについて尋ねた専門家は、「中程度の均一性と回路の下限」（pdf）、Santhanam and Williams 2013に言及しました。これはおそらく最も密接に関連する作業ですが、強すぎる）。他の関連する仕事に興味があります！

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— us
ソース

1,2,3,4：アイデンティティ関数。5.「アルゴリズムを回路に変換する」ということの意味が明確でない場合、常に均一な回路をチューリングマシンに変換できます（オーバーヘッドはわずかです）。

— カベ14

@ Kaveh、＃5：良い点ですが、私が心に留めているのは、「このTMを回路に変換する」ようには見えない、均一な回路の明示的な構造を書き留めている人だと思います。また、あなたが言及した変換は、回路がアルゴリズムの「ように見える」ことを本当に意味しないかもしれないと思う。たとえば、生成に

時間かかるサイズ

回路があるとします。これをtime

TMに変換することはできますが、回路にあまり似ていないため、そのTMを回路に戻す素朴な変換のサイズは

。この質問がなぜ私に興味があるのかを示してくれるといいのですが。

n

$n$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

— usul

@Kaveh：アイデンティティ関数はどのように1-4に答えますか？

— ジョシュアグロチョウ14

@Joshua、（ワイヤ）サイズO（n）の均一な回路を直接記述することができます。これは、アイデンティティへのチューリングマシンから回路への変換よりも優れています。

— カベ14

私のポイントは、質問に答えられるようにするために気をつけなければならない重要な細部があることです。別の例：BPPはP / polyにあり、変換は計算可能です。回路の生成が、回路の値と組み合わせた効率的なアルゴリズムによって行われる場合、効率的なTMが得られます。概念的には、回路とTMは同じアルゴリズムを計算します。サイズと時間が正確に一致しない場合があるという事実は正常であり、それらは異なる計算モデルに対して定義されており、一致しないことがわかっています。おそらく、時間はサイズよりも深さに対応しています。

— カヴェー14

最後の2つの質問に対する回答を次に示します。

（5）並べ替えネットワークは、最高のRAMアルゴリズムと同じ速さで並べ替えられる均一な回路ですが、RAMアルゴリズムの変換だけではありません（クイックソートなど）。[ AKS83、G14 ]

$s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$ $\varepsilon>0$ $(1+o(1)) \cdot 2^n/n$ $f$ $\Omega(3^n)$ $O(n \cdot 3^n)$ $f$ $O(2^n/n)$ $2^{\mathrm{poly}(n)}$ $\tilde{O}(2^n/n)$ 。 $s(n) = o(2^n/n)$

これは興味深い質問です。誰かが（1）-（3）に答えてくれることを願っています。

— トーマスがモニカをサポート
ソース

ありがとう、あなたは正しいです、私は直感的にこの「上限」のケースを除外したかったのですが、正しい漸近線を知りませんでした。そのケースを含めるように質問を編集しました。

— usul