仮定の下で崩壊

場合ことが知られているN P ⊆ P / P O のL yは、次に多項式階層に崩壊Σ P 2及びM A = A M。$NP\subseteq P/Poly$$\Sigma_2^{P}$$MA = AM$

何である場合に発生することが知られている最強の崩壊N E X P ⊆ P / P oをLのY？$NEXP\subseteq P/Poly$

最も強いのはN E X P = M Aであると信じています。これはImpagliazzo KabanetsとWigdersonによって証明されました。$NEXP = MA$

https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=en&as_sdt=0,5&sciodt=0,5をご覧ください

また、これよりも強い崩壊について知りたいと思います。

編集（8/24）：OK、潜在的に強力な崩壊について考えました。これは本質的に、上記のリンクされた論文の証拠に基づいています。ためN E X P ⊂ P / P O のL yは意味N E X P = E X Pを（上記のリンクを参照）、およびE X Pは補体の下では閉じている、我々はまたしているN E X Pは、したがって、補体下で閉じ、N E X P = M A ∩ C O M $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$、これは少し強いです。実際、仮説は、いずれかのことを意味N E X Pの言語、単一証人列W nはすべて任意の長さのYES-インスタンスの対応MAプロトコルで使用することができるN、そうもN E X P = O M A ∩ c o O M A（ここでO M A = "Oblivious MA"、Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdfを参照）$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$）。これらの追加のプロパティは、技術的ではありますが、一部の回路の下限引数で有用であることが判明する可能性があります。

編集2：アンドリュー・モーガンはすでにこれを強調しているように見えます。おっと:)

たくさんの楽しいことが起こります。私が知っているもののほとんどは、IKWペーパーから始まります。そこには、崩壊$\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$が示されており、私が知っている複雑度クラスの文字通りの最も強力な崩壊です。私は指摘されるべきだと思うけれども、他の種類の「崩壊」があります。

最も重要なことは、私が思うに、「普遍的な簡潔な目撃者」プロパティです（IKWの論文からも）。1つは、他の多くの崩壊が簡単な結果になるツールを提供します。もう1つは、NEXPの最近の回路の下限（たとえば、こことここ）がこの接続を利用していることです。簡単に言えば、財産はすべてのために、それを言うNEXPの言語L、および任意のNEXPは -machine Mを決定するLを、すべてのX ∈ Lは持って簡潔に記述可能に応じた証人をM。正式には、に依存する多項式pがあります$\textsf{NEXP}$$\textsf{NEXP}$$L$$\textsf{NEXP}$$M$$L$$x \in L$$M$$p$$M$存在するため、$x \in L$、回路がある$C_x$サイズの$p(|x|)$ので、その真理値表$C_x$ために非決定的選択のシーケンスである$M$その入力上の受け入れへの鉛$x$。

証人の簡潔さは便利です。なぜなら、それから他の多くの崩壊を簡単に再現できるからです。たとえば、$\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ように簡単になります。例えば、仮定する$L$である$\textsf{NEXP}$経由$\textsf{NEXP}$ -machine $M$。簡潔な目撃プロパティは、多項式$p$があり、$M$がサイズ$p$簡潔な目撃者を持つことを示しています。次に、入力xで、最大でp （）のサイズのすべての回路をブルートフォースすることにより、EXPで$L$を決定できます。$\textsf{EXP}$$x$$p(|x|)$、及びそれらがリードすることを選択肢の配列をコードするか否かをチェック$M$入力に受け付け$x$。あなたは（以前に対話証明を経由して知られている）の結果と組み合わせることができる$\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$締結する$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$。

$M$を選択すること、したがって証人の形式を選択することを強調する価値があります。たとえば、「$\textsf{NEXP}$は普遍的な簡潔な目撃者がいます」から$\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$と結論付けることができます。ここで、$\textsf{OMA}$は "oblivious-MA"です。つまり、入力長のみに依存する正直なMerlinが存在することを意味します。それはそれを参照するのは簡単です$\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ので、基本的にはこれがどれだけのために、通常のフォームを与えている$\textsf{NEXP}$言語がで計算されている$\textsf{P}/\textrm{poly}$仮定の下でその$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ in the first place. Here's one way to see the collapse to $\textsf{OMA}$:

言語のための$L \in \mathsf{NEXP}$機械によって決定$M$コンストラクト、$\mathsf{NEXP}$機械$M'$次のように。視聴$n$数としてビット入力を$N$との間の$1$及び$2^n$。長さnの$x$ごとに、目撃者w xを推測し、M （x 、w x）を実行して検証します。M ′（N ）$n$$w_x$$M(x,w_x)$$M'(N)$ accepts if and only if $M$ accepts for at least $N$ values of $x$. The guesses are arranged such that a succinct description of a witness for $M'$ is a circuit $C$ which computes the map $(x,i) \mapsto$ the $i$-th bit of $w_x$. Now suppose that $N$ is precisely the number of strings in $L$ at length $n$. Then succinct witnesses for $M'$ on input $N$ are circuits that simultaneously encode all of $M$'s witnesses for length-$n$ inputs. In particular, if $M'$ has succinct witnesses, then all of $M$'s witnesses can be simultaneously described by the same circuit.

To complete the claim, we'll recall that $\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$. Letting $M$ be the machine which guesses the PCP and then deterministically simulates the verifier, the above paragraph tells us the existence of simultaneously succinctly describable PCPs for every language in $\textsf{NEXP}$. So now to get $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$, we have Merlin send the succinct description of the PCPs for all inputs of the current input length, which Arthur can check by just plugging in his input and then running the PCP verifier.

[Thanks to Cody Murray for pointing out the trick of using the input to count the number of strings in $L$. Previously I had $M'$ use that if $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ then $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ to write down the truth table of $L$, but Cody's strategy is more elegant.]

As a final note, while technically implied by $\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$, the collapse $\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$ has another interesting implication. It's known that $\textsf{PSPACE}$ has a complete language which is both downward self-reducible as well as random self-reducible. Ordinarily, all such languages sit inside $\textsf{PSPACE}$ and so we shouldn't hope to say (unconditionally) that $\textsf{NEXP}$ has such a complete language as long as we hope that $\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$. However, if $\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$, then $\textsf{NEXP}$ does have such complete languages. A similar statement (replacing $\textsf{NEXP}$ by $\textsf{EXP}$) was used by Impagliazzo and Wigderson to conclude a sort of "derandomization dichotomy" for $\textsf{BPP}$ in relation to $\textsf{EXP}$, so it may be useful in discovering other consequences of $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$.