マジョリティ関数の回路の複雑さ

ましょう大部分の機能、すなわち、であるF （X ）= 1の場合に限りΣ N iが= 1、X I > N / 2。次の事実の単純な証拠があるのだろうかと思っていました（「単純」とは、Valiant 84のような確率的手法やネットワークのソートに依存しないことを意味します。$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f(x) = 1$$\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

は、 O （log （n ））深さ、poly（n）サイズの回路ファミリで計算できます。ここで、ゲートはNOTゲート、2入力ORゲート、2入力ANDゲートで構成されます。$f$$O(\log(n))$

Kavehの回答は、あなたが述べたように質問に対する回答を提供します（これは、がN C 1に含まれていることを示すための通常の証拠です）。しかし、実際には少し異なる質問をするつもりだったのではないかと思っていました。すなわち、多数の明示的な多項式サイズの単調な式です。$\mathsf{TC}^0$$\mathsf{NC}^1$

大半は単調であるため、単調な式で計算できることがわかっています。多項式サイズの単調な公式には2つの既知の構成があります。つまり、言及した2つ、Valiantの確率的構成とソートネットワークを介した構成です。私が知る限り、ソートネットワークによって提供されるものよりも単純な決定論的な構造はありません。

これに関連するのも次のとおりです。多数決は、M A J 3ゲートのみ で構成される公式によって計算できることがわかります（定数はありません！）。Valiantの確率的構造は、このようなO （log （n ））深さの式を与えるように適合させることができます。しかし、ここでは決定論的な構造は知られていない。特にソーティングネットワークがこれに適していない（技術的な理由：彼らはすべてのしきい値機能を提供するのみ多数決関数により全てで計算することができるM A J 3つのゲート）。しかし、論文で与えられたこの質問には最近の進展があります$\mathsf{MAJ}_3$$O(\log(n))$$\mathsf{MAJ}_3$Cohen et al。による対数深さ閾値式を介した効率的なマルチパーティプロトコル ここで、そのような式は、標準的な複雑さの理論的または暗号的仮定に基づいた構築です。

演算制限閾値ゲート（）本質的に入力ビットを並べ替えています。$\sum_i x_i \geq k$

ビットをソートできる場合、結果をと比較し、制限されたしきい値を計算するのは簡単です。$k$

一方、制限されたしきい値を計算する回路があると仮定します。並列検索を実行して、入力内の1の数を見つけ、ソートされたリストを出力できます。

これらは回路の深さを保持します。したがって、制限されたしきい値を計算するために新しい回路を考え出すと、深さO （lg n ）のソート回路が得られます。したがって、多数決がN C 1にある ことを示す簡単な引数を考え出すと、単純な深さO （lg n ）ソート回路（AKSソートネットワークに基づくもの以外）が見つかりました。$\mathsf{NC^1}$$O(\lg n)$$\mathsf{NC^1}$$O(\lg n)$

多数決ゲートに新しい1および0入力を追加することにより、多数決を使用して制限付きしきい値を簡単に実装できることに注意してください。

以前、この回答は、分割と征服、およびバイナリ加算があるという事実を使用して実行できると主張していました。直接加算する場合、バイナリ加算に無制限のファンインゲートがあるため、大部分がA C 1およびN C 2にあることを示しています。ただし、もう少し作業を行うことで実行できます。$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^1}$$\mathsf{NC^2}$

深さO （lg n ）を維持するには、three-for-twoと呼ばれるトリックを使用する必要があります。$O(\lg n)$

$a,b,c$$x,y$$a+b+c = x+y$

$O(1)$

セクション4と演習4を参照

• デビッドミックスバリントンとアレクシスマシエル、「計算の複雑さに関する上級コース」、講義6、IAS / PCMI、2000年。

$n$

別の証明がBrodalとHusfeldtによって与えられます：対称関数が対数の深さを持っているという通信の複雑さの証明。繰り返しますが、証明は基本的なものであり、明示的な構造を提供します。