SATは文脈自由言語ですか？

私はすべての充足可能な命題論理式の言語、SATを考えています（これが有限のアルファベットを持っていることを保証するために、私たちは何らかの適切な方法で命題文字をエンコードします[編集：エンコーディングが異なるため、より具体的にする必要があります。以下の私の結論を参照してください）。私の簡単な質問は

あるSATは、文脈自由言語？

私の最初の推測は、今日（2017年初頭）の答えは「これは複雑性理論の未解決の問題に関連しているため、誰も知らない」ということでした。ただし、これは完全に偽ではありませんが、実際には真実ではありません（下記の回答を参照）。ここに、私たちが知っていることの簡単な要約を示します（いくつかの明らかなことから始めます）。

1. SATは規則的ではありません（括弧が一致するため命題論理の構文でさえ規則的ではないため）
2. SATは状況依存です（それにLBAを与えるのは難しくありません）
3. SATはNP完全（クック/レビン）であり、特に多項式時間で非決定的なTMによって決定されます。
4. SATは、一方向の非決定的スタックオートマトン（1-NSA）でも認識できます（WCラウンド、中間レベル言語での認識の複雑さ、スイッチングとオートマトン理論、1973、145-158 http://dx.doi.org/を参照してください）10.1109 / SWAT.1973.5）
5. コンテキストフリー言語の単語の問題には、独自の複雑度クラス$\textbf{CFL}$（https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cflを参照）
6. 、 LOGCFLは、問題のクラスであるが、に還元LOGSPACE CFL（参照https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl）。これは、ことが知られている NL ⊆ LOGCFL。$\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL}$
7. これは、かどうかは知られていないまたは（実際には、でも開いている、私は思いますこれは、S。アロラ、B。バラク：計算の複雑さ：モダンアプローチ ; Cambridge University Press 2009）から入手しました。したがって、にないことがわかっている完全な問題はありません。したがって、SATがある場合は不明である必要があります。$\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}$$\textbf{NL}=\textbf{NP}$$\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}$$\textbf{NP}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{LOGCFL}$

ただし、この最後の点では、SATがにないことがわかっている可能性が残っています。一般に、質問の認識状態を明確にするのに役立つ可能性のあるNC階層とCFLの関係についてはあまり見つけることができませんでした。$\textbf{CFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NC}$

備考（最初の回答を見た後）：論理式が連言標準形になるとは思っていません（これは回答の本質に違いをもたらさず、CNFも数式であるため、通常は引数が適用されます。構文に括弧が必要なため、問題の変数の定数バージョンは定期的に失敗すると主張します。

結論：私の複雑性理論にヒントを得た推測に反して、SATはコンテキストフリーではないことを直接示すことができます。したがって、状況は次のとおりです。

1. 命題変数が2進数で識別される式の「直接」エンコーディングを使用するという仮定の下で、SATはコンテキストフリーではないことが知られています（言い換えると、SATはありません）演算子および区切り文字用）。$\textbf{CFL}$
2. SATがに含まれているかどうかはわかりませんが、「ほとんどの専門家はそうではない」と考えています。これは、P = NPを意味するからです。これはまた、SATの他の「合理的な」エンコーディングがコンテキストフリーであるかどうかが不明であることを意味します（NP困難な問題の場合、ログスペースは許容可能なエンコーディング作業であると想定します）。$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{P}=\textbf{NP}$

これら2つの点が意味するものではありませんのでご注意。これは、コンテキストフリーではない言語（たとえば、a n b n c n）がLにある（したがってLOGCFLにある）言語があることを示すことで、直接表示できます。$\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}$$\textbf{L}$$\textbf{LOGCFL}$$a^nb^nc^n$

よく知られている結果を組み合わせて使用​​する単なる代替の証明。

仮定：

• 変数は正規表現d = （+ | − ）1 （0 | 1 ）∗で表されます$d = (+|-)1(0|1)^*$
• そして（すなわちレギュラー）言語（上 CNF式を表すために使用される：S = { D +（∨ D + ）*（∧ （D +（∨ d + ）∗））∗ } ; Sは変数の名前変更まで有効なCNF式をすべて取得することに注意してください。$\Sigma = \{0,1,+,-,\land,\lor\})$$S = \{ d^+ (\lor d^+)^*(\land (d^+ (\lor d^+)^*))^* \}$$S$

例えば、のように書かれている：S φ = + 1 ∨ + 10 ∧ - 11 ∈ Sは（∨のオペレータが優先され∧）。$\varphi = (x_1 \lor x_2) \land -x_3$$s_{\varphi} = +1 \lor +10 \land -11 \in S$$\lor$$\land$

仮定する st対応する式 φは充足可能 }はCFです。$L = \{ s_{\varphi} \in S \, \mid$$\varphi$$\}$

私たちは正規言語でそれを交差する場合：我々はまだCF言語を取得します。準同型写像を適用することもできます：h （+ ）= ϵ、h （− ）= ϵそして言語はCFのままです。$R = \{ +1^a \land -1^b \land -1^c \mid a,b,c > 0 \}$$h(+) = \epsilon$$h(-) = \epsilon$

しかし、我々は得る言語である：、場合ため= Bは、次いで、 "ソース"式である+ X ∧ - X A ∧ - X満足できないb（同様にa = cの場合）。しかし、L ′はよく知られている非CF言語⇒矛盾です。$L' = \{ 1^a \land 1^b \land 1^c \mid a \neq b, a \neq c\}$$a=b$$+x_a \land -x_a \land -x_b$$a=c$$L'$$\Rightarrow$

変数の数が有限であれば、充足可能な接続詞の数も有限であるため、SAT言語は有限です（したがって、規則的です）。[編集：この主張はCNFSAT形式を前提としています。]

そうでなければ、レッツのようなエンコード式に同意によって（17 + $(x_{17}\vee \neg x_{21})\wedge (x_{1}\vee x_{2}\vee x_3)$。Ogdenの補題 を使用して、すべての充足可能な接続詞の言語がコンテキストに依存しないことを証明します。$(17+\tilde{} 21)(1+2+3)$

ましょうオグデンの補題で「マーキング」一定であること、およびSAT-式を考えるwは、その最初の句は、から成る（1 、P） -である、のエンコーディング（X N）、ここでNは、からなる小数点数であるPもの。我々はマークのpのもの1つのpは、その後の適切な分解のすべてpumpingsことを必要とし、wは（オグデンの補題の結論を参照）も満足できること。ただし、x qを含む句を要求しないことで、これを簡単にブロックできます。ここで、qは$p$$w$$(1^p)$$(x_N)$$N$$p$$p$$1^p$$w$$x_q$$q$は pよりも短く、充足可能です。たとえば、 wの他のすべての節がそのようなすべての x qの否定を持つようにすることによって。これは、 wが「ネガティブポンピング」プロパティに失敗することを意味し、言語はコンテキストに依存しないと結論付けます。[注：ポンピングが不正な形式の文字列を生成するという些細なケースを無視しました。]$1$$p$$w$$x_q$$w$