ACC回路のBeigel-Tarui変換

私は、AroraとBarakの計算の複雑さの本で、NEXPのACC下限に関する付録を読んでいます。 http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf 重要な補題の1つは、回路から、多対数次数と準多項式係数を持つ整数上の多重線形多項式への変換、または同様に、回路クラスは、多対数ファンインを備えた最下位レベルに準多項ANDゲート、最上位レベルに対称ゲートを備えた深さ2の回路のクラスです。$ACC^{0}$$SYM^{+}$

教科書の付録では、ゲートセットがOR、mod、mod、および定数構成されていると仮定して、この変換には3つのステップがあります。最初のステップは、ORゲートのファンインを多対数オーダーに減らすことです。3 $2$$3$$1$

著者は、Valiant–Vazirani Isolation Lemmaを使用して、という形式の入力に対するORゲートが与えられた場合、をからまでのペアワイズ独立ハッシュ関数に選び、次にゼロ以外のに対して少なくとも確率で、ます。 OのRは、（X 1、。。。、xは2 K）H [ 2 K ] { 0 、1 } のx ∈ { 0 、1 } 2 、K 1 /（10 K ）Σ I ：H （I ）= 1 x i mod $2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

の確率は少なくともませんか？と思われる下限弱いです。1 / 2 1 / 10 $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

2番目のステップは、算術ゲートに移動し、乗算を押し下げることです。このステップでは、指定されたバイナリ入力文字列を持つブール回路を、整数入力を持つ算術回路に変換します。

ここでは、がおよびはフェルマーのリトル定理を使用して置き換えられます。1 - X 1、X 2 ⋯ X K M O DのP（X 1、。。。、X K）（Σはiが= 1 、。。。、K X I）p − $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

この置換が同等の回路を提供するのはなぜですか？$SYM^{+}$

の確率は少なくとも1/2ではありませんか？と思われる下限弱いです。1 /（10 kは$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

実際、答えはノーです。（そのあろう確率で少なくとも保持、私たちが働いていた場合 -偏りのあるハッシュファミリ、および実際に -biasedハッシュ関数を使用すると、構築のパラメーターを改善する方法が得られますが、ペアごとの独立性は必ずしも -biased とは限りません。）1 / 2 - ε ε ε $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

彼らはここで追加のステップを1つ逃しているようです。Valiant-Vaziraniを直接適用するには、ハッシュ関数の範囲もランダムに選択する必要があります。ランダムなペアごとに独立したを選択するのではなく、ランダムを選択してからランダムを選択する必要があるようです。ペアワイズ非依存。レッツ（ここで私は意図的にページ354で見つかったヴァリアント-Vaziraniのアローラ-バラクの声明を、使用しています）多数あること。Valiant-Vaziraniは、になるようにを選択した場合、ℓ ∈ { 2 、... 、K + 1 } H ：[ 2 K ] → { 0 、1 } ℓ S 、X I = 1 ℓ 2 ℓ - 2 ≤ S ≤ 2 ℓ - 1つの Σ I ：H （I ）$h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$（整数以上！）は少なくともです。$1/8$

そうランダムピッキングによってランダムペアワイズ独立ピッキング、あなたは少なくとも確率を有するその。回路内のランダムな選択をシミュレートするには、可能性のあるすべての（結局対数です）でを取るだけでよいので、成功の確率は少なくともなります。したがって、ハッシュ関数の範囲がであるのではなく、が必要になりますH ：[ 2 K ] → { 0 、1 } ℓ 1 /（8 K ）Σ iが：H （I ）= 1は、 xはiが国防省  2 = 1 ℓ O R ℓ 2 K 1 / 8 O （K ログ複数可）{ 0 、1 } O （K $\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$ハッシュ関数の異なるセット（各セットの範囲が異なる）、各セットにハッシュ関数があります。$O(\log s)$

この置換が同等のSYM +回路を提供するのはなぜですか？

AサイズのAND（すなわち、SYM +）回路のSYM多変数多項式有すると本質的に等価である高々と単項式、ルックアップテーブルG ：{ 0 、... 、K } → { 0 、1 }、およびコンピューティンググラム（H （X 1、... 、X N））。（たとえば、Beigel-Taruiで証明を見つけることができます。）直観は、fの各単項式はANDゲートであり、$K$$h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$$K$$g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$$g(h(x_1,\ldots,x_n))$$f$はSYMゲートです。多重線形多項式 hにはいくつかの項に対して負の係数があり、負の係数はANDのSYMで明らかに実装できないため、「本質的に同等」と言います。しかし、私はこれが問題ではないと主張しています（そして、BeigelとTaruiは主張しています）。それについて考えてください:)$g$$h$