熱帯半環上の多項式のVC次元？

以下のように、この質問、私が興味を持って対 /問題のための熱帯および（\分、+）回路。この問題は、熱帯半環上の多項式のVC次元の上限を表示することになります（以下の定理2を参照）。 $\mathbf{BPP}$$\mathbf{P}$$\mathrm{poly}$ $(\max,+)$$(\min,+)$

ましょ$R$半環なります。ゼロパターン配列の$(f_1,\ldots,f_m)$の$m$の多項式$R[x_1,\ldots,x_n]$であるA部分集合$S\subseteq \{1,\ldots,m\}$が存在している$x\in R^n$と$y\in R$全てに対してよう$i=1,\ldots,m$、 $f_i(x)= y$ IFF $i\in S$。すなわち、これらの多項式は正確のグラフである$f_i$と$i\in S$点を打つ必要があり$(x,y)\in R^{n+1}$。（条件$f_i(x)=y$をf_i（x）-y = 0に置き換えることができるため、「ゼロパターン」$f_i(x)-y=0$。）$Z(m)$ =最大dの次数の$m$多項式のシーケンスのゼロパターンの最大可能数。したがって、0 \ leq Z（m）\ leq 2 ^ mです。次数d多項式の Vapnik-Chervonenkis次元は VC（n、d）：= \ max \ {m \ colon Z（m）= 2 ^ m \}です。 $d$$0\leq Z(m)\leq 2^m$$d$$VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$

注：通常、VC次元は、集合のファミリ${\cal F}$に対して最大カーディナリティーとして定義されます$|S|$集合$S$ように$\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$。このフレームに収まるように、我々はすべてのペアに関連付けることができる$(x,y)\in R^{n+1}$セット$F_{x,y}$の全ての多項式の$f$度$\leq d$れる$f(x)=y$が成り立ちます。このようなすべてのセットF_ {x、y}のファミリー{\ cal F}のVC次元は、正確にVC（n、d）です。 ${\cal F}$$F_{x,y}$$VC(n,d)$

m = VC（n、d） の自明な上限$m=VC(n,d)$は、$m\leq n\log |R|$（すべての2 ^ m個の可能なパターンを得るには、少なくとも$2^m$異なるベクトルx \ in R ^ nが必要です）が、無限半環では役に立たない。VC次元に適切な上限を設定するには、Z（m）に適切な上限が必要です。上フィールドは、そのような境界が知られています。$x\in R^n$$2^m$$Z(m)$

定理1： 任意のフィールド $R$に$Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$ます。

同様の上限は、以前にミルナー、ハインツ、 ウォーレンによって証明されました 。彼らの証明は、実際の代数幾何学からの重い技術を使用しています。対照的に、Ronyai、Babai、およびGanapathyによる定理1の半ページの証明（以下に示します）は、線形代数の単純なアプリケーションです。

\ binom {md + n} {n} <2 ^ mを満たす小さなmを探すことにより、 VC（n、d）= O（n \ log d）が任意のフィールドを保持することを取得します。\ mathbf {BPP}対\ mathbf {P} / \ mathrm {poly}を考慮すると、ここで重要なのは次元がdの対数のみであることです。多項式サイズの回路は指数次数の多項式を計算できるため、またPAC学習におけるHausslerの結果（このペーパーの 114ページの結果2 ）から次の結果が得られるため、これは重要です（ここで、決定論的回路は多数決を使用できると仮定します）値を出力します）。 $m$$\binom{md+n}{n} < 2^m$$VC(n,d)=O(n\log d)$$\mathbf{BPP}$$\mathbf{P}$$\mathrm{poly}$$d$

定理2： $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$は、半環R上の回路に適用されます$R$。ここで、$VC(n,d)$ は$n$および\ log dの多項式のみ$\log d$です。

Hausslerの結果がどのように定理2を意味するか についてはこちらをご覧ください。

特に、定理1により、は任意のフィールドを保持します。（興味深いのは無限フィールドの場合のみです：有限フィールドの場合、はるかに単純な引数が機能します：Chernoff boundが機能します。）しかし、フィールドではない、またはリングではない（無限）半環についてはどうでしょうか。動的プログラミングに動機付けられて、私は主に熱帯および半環に興味がありますが、他の「非場」（無限）半環も興味深いです。、それよりノート、多項式半環 と および$\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$（分、+ ）（最大、+ ）F （X ）= Σ A ∈ A C A Π 、N iは= 1、X 、A I I A ⊆ $(\max,+)$$(\min,+)$$(\max,+)$$f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$$A\subseteq\mathbb{N}$$c_a\in \mathbb{R}$、最大化問題 ます。の次数は（慣例として）すべてのに対する最大値です。fは1 + ⋯ + $f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$$f$$a_1+\cdots+a_n$$a\in A$

質問：次数のVC次元は、熱帯半環多項式上の多項式ですか？ n個の$\leq d$$n\log d$

私は認める、これは簡単な答えを期待するのはかなり難しい質問であることができる：熱帯代数はむしろ「クレイジー」である。しかし、おそらく誰かが、熱帯の多項式が実際の多項式よりも多くのゼロパターンを生成できる理由について考えを持っているでしょうか？それともなぜ「すべきではない」のでしょうか？またはいくつかの関連参照。

または、おそらく、ババイ、ロナイ、およびガナパシー（下）の証拠は、熱帯半環で機能するように「ねじれ」ている可能性がありますか？または、他の無限半環（フィールドではない）の上に？

定理1の証明： シーケンスに異なるゼロパターンがあると仮定し、をこれらのゼロパターンの目撃者とする。LETによって目撃ゼロパターンである番目のベクトル、及び多項式考慮。これらの多項式は、フィールドに対して線形独立であると主張します。各次数は最大であり、次数多項式の空間の次元はあるため、この主張は定理の証明を完了しますのP 、V 1、... 、V P ∈ R N S iは = { K ：F K（V I）≠ 0 } iがV I G I：= Π K ∈ S I F K G i D ：= m d D （ n + $(f_1,\ldots,f_m)$$p$$v_1,\ldots,v_p\in R^n$$S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$$i$$v_i$$g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$$g_i$$D:=md$$D$$\binom{n+D}{D}$。主張を証明するには、場合にのみであることに注意するだけで十分です。逆に、自明でない線形関係 が存在するとます。してみましょう、このような添字なる中で最小となるで。置き換え関係で。しばらく、我々が持っている すべてのために、矛盾。 S I ⊆ S J λ 1 、G I（X ）+ ⋯ + λ P G P J $g_i(v_j)\neq 0$$S_i\subseteq S_j$jは| S j | S I λ I ≠ 0 V J λ J G J（Vの$\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$$j$$|S_j|$$S_i$$\lambda_i\neq 0$$v_j$$\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$I $\lambda_ig_i(v_j)=0$$i\neq j$$\Box$

私の質問への答えは-はい：トロピカル半環上の変数の次数多項式のVC次元はせいぜい定数倍であることに気付きました。これは、上記の定理1を使用して表示できます。詳細はこちら をご覧ください。したがって、BPP P / polyは熱帯回路にも適用されるため、「純粋な」動的プログラミングアルゴリズムにも適用されます。 $\leq d$$n$$n^2\log(n+d)$ $\subseteq$

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NB（2019年6月25日追加）その間、このペーパーで問題を完全に解決しました。このような一般性において、私は最初は夢にも見ていませんでした。熱帯のケースは、ここでは非常に特別なケースです。さらに不思議なことに、他の著者の既知の（あらゆる点で深い）結果の適切な組み合わせによって。

この（BPP対P /ポリ）方向に他にやるべきことは何ですか？結果の決定論的回路のサイズの減少に加えて（それ自体が興味深い質問です）。