DAGのすべての長いstパスを破棄するのにどれくらいの費用がかかりますか？

1つのソースノード$s$と1つのターゲットノード持つDAG（有向非巡回グラフ）を考えます$t$。同じ頂点のペアを結合する平行なエッジが許可されます。$k$ - カットが除去全て破壊辺の集合であり$s$ - $t$パスよりも長い$k$。短い$s$ - $t$パスと長い「内部」パス（$s$と間ではない$t$）は生き残ることができます！

質問：kより長いすべてのs - tパスを破壊するために、DAGからエッジの 最大で約$1/k$部分を削除するだけで十分ですか？ $s$$t$$k$

つまり、$e(G)$がのエッジの総数を示す場合$G$、すべてのDAG $G$は最大で約e （G ）/ kエッジの$k$カットがありますか？2つの例：$e(G)/k$

1. 場合、すべての $s$ - $t$パスの長さ持っ$> k$、その後、$k$との留分$\leq e(G)/k$エッジが存在します。これは、$k$独立した$k$カットが存在する必要があるためです。ソースノードsからの距離に従ってのノードをレイヤー化するだけです。 $G$$s$
2. 場合$G=T_n$ある推移トーナメント（完全DAG）、その後もA $k$留分と エッジが存在する：修正 トポロジカル順序をノードの場合、ノードを長さ連続した間隔に分割し 、同じ間隔のノードを結合するすべてのエッジを削除します。これは、kより長いすべて -パスを破壊します。 $\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/k$n / k s t $k$$n/k$$s$$t$$k$

備考1：肯定的な答えを出す素朴な試み（私も最初に試みました）は、すべてのDAGが約$k$ ばらばらの $k$カットを持たなければならないことを示すことを試みることです。残念ながら、この試みはひどく失敗する可能性があること例2が示すように：素敵な引数を経由して、デイビット・エップスタインはい示すために、という$k$について$\sqrt{n}$、グラフ$T_n$つ以上持つことはできません互いに素 $k$ -cuts！

備考2：$k$カットは、すべての長い$s$ - $t$パスを破壊するだけでよく、必ずしもすべての長いパスを破壊する必要はないことが重要です。つまり、すべての「純粋な」kカット（sまたはtに入射するエッジを回避）がほぼすべてのエッジを含む必要があるDAG が^1つ存在します。だから、私の質問は実際には次のとおりです：sまたはtに付随するエッジを削除する可能性は、kカットのサイズを大幅に削減できますか？おそらく、答えは否定的ですが、私はまだ反例を見つけることができませんでした。 $k$$s$$t$$s$$t$$k$

動機：私の質問は、単調なスイッチングおよび整流器ネットワークの下限を証明することによって動機付けられています。このようなネットワークは単なるDAGであり、そのエッジの一部は「$x_i=1$？」というテストによってラベル付けされています （テストx_i = 0はありません$x_i=0$）。ネットワークのサイズは、ラベル付きエッジの数です。すべてのテストがこのベクトルと一致する$s$ - $t$パスがある場合、入力ベクトルが受け入れられます。マルコフは、単調なブール関数fがlより短い最小項とwより短い最大項を持たない場合、サイズ l \ cdot wであることを証明しました。$f$$l$$w$$l\cdot w$必要です。私の質問に対する肯定的な答えは、kより長いすべてのmintermを破壊するために少なくともw_k変数を0に設定する必要がある場合、k \ cdot w_k程度のサイズのネットワーク$k\cdot w_k$が必要であることを意味します。$w_k$$0$$k$

¹ この論文では、構成を示します。depth 完全な二分木を取り。すべてのエッジを削除します。すべての内部ノードのためのにエッジを描くの左の部分木のすべての葉から、およびからエッジの右部分木のすべてのリーフに。したがって、 2つのリーフごとに、DAGの長さパスで接続されます。DAG自体にはノードとエッジがありますが、より長いすべてのパスを破棄するには、エッジを削除する必要がありますログN V V TとV V T V T 2 〜N 〜N ログN Ω （N ログN ）$T$$\log n$$v$$v$$T_v$$v$$T_v$$T$$2$$\sim n$$\sim n\log n$$\Omega(n\log n)$$\sqrt{n}$。

[自己回答。これは短縮版で、古いものは こちらにあります ]

私の質問に対する答えは非常に否定的であることをGeorg Schnitgerに気付きました：すべてのカットが約分数ではなく、すべてのエッジの一定の分数を持たなければならないDAGがあります私の質問。（上記の脚注で述べたより単純な構成を使用すると、分数が必要になる可能性があるというわずかに弱い結果が得られます。簡単な説明はこちらです） 1 / k 1 / log $k$$1/k$$1/\log k$

すなわち、紙に 「深度削減及び火格子上」、ゲオルクは、有向非循環グラフの配列構築一定の最大次数がで次のプロパティを持つノード。 d n = m 2 $H_n$$d$$n=m2^m$

• すべての定数、定数があり、最大でノードのサブセットがから削除される場合、残りのグラフには少なくともの長さのパスが含まれます。 C > 0 C N H N 2 ε $0\leq \epsilon < 1$$c > 0$$cn$$H_n$$2^{\epsilon m}$

今2つの新しいノード乗りと、そしてからエッジを描くのすべてのノードに、とのすべてのノードからエッジに。結果のグラフは、最大で エッジがあります。t s H n H n t G n 2 n + d n = O （n $s$$t$$s$$H_n$$H_n$$t$$G_n$$2n+dn=O(n)$

すべての定数について、定数があり、最大でエッジのサブセットがから削除される場合、残りのグラフには -パス が含まれます以上のエッジ。 C ' > 0 C ' N G N S T 2 ε $0\leq \epsilon < 1$$c ' > 0$$c'n$$G_n$$s$$t$$2^{\epsilon m}$

証明：内部ノードの ノードを呼び出します。せいぜいの任意のサブセットを除去から縁、。その後、削除されたエッジにインシデントがあった場合、内部ノードを削除します。最大で内部ノードが削除されることに注意してください。生き残ったノードに付随するエッジは削除されませんでした。特に、生き残った各内部ノードは、まだノードと両方に接続されています。の上記の特性により、長さパスが残っている必要がありますG n c ′ n G n c ′ = c / 2 2 c ′ n = c n s t H n 2 ϵ m s t G $H_n$ $G_n$$c'n$$G_n$$c'=c/2$$2c'n=cn$$s$$t$$H_n$$2^{\epsilon m}$完全に生き残った内部ノードで構成されます。これらの各パスのエンドポイントは存続しているため、それぞれを -パスに拡張できます。QED$s$$t$$G_n$

結果は悲しいです：長い minterm のセットには「複雑な」構造がありますが、多くの短い minterm を持つ関数のマルコフの補題の類似物は存在しません。ネットワークサイズの超線形下限は、この「長さ×幅」引数。

PSこの「長さ× 幅」引数（すべて -パスが十分に長い場合）は、以前ムーアとシャノン（1956）によって使用されていました。唯一の違いは、修正（ラベルなしのエッジ）が許可されないことです。したがって、これは実際には「ムーア・シャノン・マルコフの議論」です。$s$$t$