DAGに必要なばらばらのエッジカットはいくつありますか？

次の質問は、Bellman-Ford -最短パス動的プログラミングアルゴリズムの最適性に関連しています（接続については、この投稿を参照してください）。また、肯定的な回答は、 STCONN問題の単調非決定性分岐プログラムの最小サイズがことを意味します。 S T Θ （N 3$s$$t$$\Theta(n^3)$

LET一つのソースノードとのDAG（有向非巡回グラフ）であるとつのターゲットノード。 - カットが除去全て破壊エッジの集合であり -長さのパス。そのようなパスがあると仮定します。短い -パスを破棄する必要がないことに注意してください。G S T K S T ≥ K G S $G$$s$$t$$k$$s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

質問： DOES少なくとも（約）持っている必要があります互いに素 -cuts？ G $G$$k$ $k$

よりも短い -パスがない場合、答えはYESです。これは、Robacker起因する次の既知のmin-max事実（メンガーの定理の双対 ）があるためです。AN -カットは、ためのカットの（破壊全て -パス）。s t $s$$t$$k$^$\ast$ s t k k = $s$$t$$k$$k=1$ s $s$$t$

事実： 有向グラフでは、エッジの素である -カット最大数は、 -パス最小長と同じです。 s $s$$t$s $s$$t$

これはグラフが非循環でなくても成り立つことに注意してください。

証明： 端的に言えば、各 - パスが各 -カットと交差するため、最小値は少なくとも最大値です。等価性を確認するには、をからへの最短経路の長さとします。LET 、のために、およびlet出るエッジの集合である。セットすることは明らかである設定されるため、互いに素ようなものです。したがって、各が -あることを示すために残りますs t s t d （u ）s u U r = { u ：d （u ）= r } r = 1 、… 、d （t ）E r U r E r U r E r s $s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$$U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$切る。これを表示するには、任意 -パス におよびます。以降、距離のシーケンスは値に達しなければならない 開始することによってでと高々によって値を増加させるステップごとに。いくつかの値の場合は低下し、その後、我々は値に達しなければなりません、後者を。したがって、からへのジャンプが発生するが必要です。つまり、エッジS T P = （U 1、U 2、... 、U M）U 1 = S U M = T D （U I + 1）≤ D （U iは）+ 1 、D （U 1）、... 、D （U m）d （u m）= d （$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$$u_1=s$$u_m=t$$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$）d （u 1）= d （s ）= 0 1 d （u i）d （u i）j d （u j）= r d （u j + 1）= r + 1 （u j、u j + 1$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$$d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$ は、必要に応じてに属します。QED $E_r$

しかし、（よりも）短いパスもある場合はどうでしょうか？ヒント/リファレンスはありますか？ $k$

---

$^{\ast}$ JT Robacker、ネットワークの最短チェーンとディスジョイントカットのMin-Max理論、研究覚書RM-1660、RAND Corporation、カリフォルニア州サンタモニカ、[1月12日] 1956。

---

編集（1日後）：David Eppsteinは短くて非常に良い議論、上記の元の質問に否定的に答えました。完全な DAG（推移的トーナメント）は、4つ以上のばらばらのカットを持つことはできません！実際、彼はに関するについて、以下の興味深い構造的事実を証明しています。または付随するエッジが含まれていない場合、カットは純粋です。$T_n$$k$K $k$$\sqrt{n}$s $s$$t$

すべての純粋な$k$中留分$T_n$、長さのパスが含ま$k$。

これは、特に、2つの純粋なカットごとに交差する必要があることを意味します。しかし、おそらく「あまりにも」オーバーラップしない多くの純粋なカットがまだあります。したがって、緩和された質問（STCONNの結果は同じです）：k $k$$k$

質問2： すべての純粋なカットにエッジがある場合、グラフには約エッジが必要ですか？ $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

STCONNの複雑さとの関連は、長さすべてのパスを破棄するために、（無向）から（以外のすべてのエッジを削除する必要があるというエルデスとガライの結果に由来しています。 $(k-1)m/2$$K_m$$k$

---

編集2：私は今mathoverflowで質問2を尋ねました。

短い答え：いいえ。

LET Gは、完全なDAG（推移トーナメント）であることNと頂点S及びtはそのソースとシンクを、およびlet kは= $G$$n$$s$$t$n / 3。よりTHAM含む最大4つの互いに素なカットが存在し得ることを観察N/3にエッジ入射するSまたはよりN/3にエッジ入射T。したがって、多くのばらばらのカットがある場合、sとtに入射するエッジを多数含まないカットCが存在すると想定できます。$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

ここで、エッジs xとx tがCに属さないように、頂点セットxによってGに導入された完全なサブグラフをXとします。Xの頂点の数は少なくともn / 3です。それ以外の場合、Cはsまたはtに付随する多くのエッジに接触するためです。ただし、X ∖ Cにk -pathを含めることはできません。そのようなパスが存在する場合、sとtを連結してGに長いパスを形成できるためです。$X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$∖ C。したがって、 X ∖ Cの最長経路の階層化は、 k個未満の層を持ち、（n / 3 ）/ k = k個を超える頂点を含む層を持ちます。これは最長パスレイヤーのレイヤーであるため、 X ∖ Cで独立しており、したがって Cで完全であるため、 Cには、このレイヤーの頂点を通る長さ kのパス Pが含まれます。このパスは、他のすべてのカットから切り離されている必要があります。$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

ないすべてのカットCは、からエッジのいずれか含まれている必要があり、Sのパスの先頭にPまたはパスの端から端PにT、またはそうでなければパス遮断ないS - P - Tを。したがって、Cが存在する場合、最大3つのばらばらのカットが存在する可能性があります。また、Cが存在しない場合（つまり、すべてのカットがsまたはtに入射するn / 3を超えるエッジをカバーする場合）、最大4つのばらばらなカットが存在する可能性があります。いずれにしても、これはkカットよりもはるかに少ないです。$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$