一つは、証明することができ

結果1：Linial-Mansour-Nisanの定理によれば、回路で計算される関数のフーリエ重みは、小さなサイズのサブセットに高い確率で集中します。 $\mathsf{AC}^0$

結果2：フーリエ係数は次数係数に集中しています。 $\mathsf{PARITY}$ $n$

質問：（証明可能な場合）が結果1および2を使用して、または使用して回路で計算できないことを証明する方法はありますか？ $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— スタトラフ
ソース

これは、リニアル・マンスール・ニサンの定理の明らかな応用ではないでしょうか？LMN定理がどのように証明されるか（特に、確率論的に証明されるかどうか）は無関係です。

— 伊藤剛

同時に、Linial-Mansour-Nisanの定理は、Hastadの定理を仮定することによって証明されませんか？それは...、独自の尾を追いかけて犬のように私には見えます

— アレッサンドロCosentinoさん

これは、パリティを近似するAC0回路のサイズの下限がRyan O'Donnellのノートでどのように導出されるかです。当然の帰結32.を参照してください

— Sashoニコロフ

もっと興味深い質問はあなたのコメントにあると思います：そのフーリエスペクトルが小さなAC0回路で計算可能な低レベル係数に集中しているすべての関数です。

— サショニコロフ

@Strattavその後、あなたはその質問をすることができます。

— タイソンウィリアムズ

もしfがブール関数であることLMN定理ショーによって計算サイズMの回路、 $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

fとパリティ関数との相関関係にすぎません。ましょう入力の分数であると異なる。 $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

したがって、Mが場合、がに等しくなるように、 $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

だから、LMNのことを証明している定理だけでなく、によって計算することができない回路、またことを示す低相関有する回路。 $PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— トゥラシ
ソース