フーリエ重みがAC0回路によって計算された小さなサイズのセットに集中しているすべての関数はありますか？

回路で計算されたフーリエウェイトが小さなサイズのセット（または次数の低い項）に集中している関数はすべてありますか？ $\mathsf{AC}^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity boolean-functions fourier-analysis

— スタトラフ
ソース

この質問はおもしろそうに聞こえますが、フーリエ解析の背景の一部が欠けています。関連文献を参照していただければ幸いです。

— マルクス

@Markus：Ryan O'Donnellによるこの本2.0は素晴らしい参考文献です：contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— アレッサンドロコセンティーノ

1993年、日産のリニアル、マンスールとほぼ逆ですか？アーロンソンの結果、一般化されたリニアル・ニッサンへの反例は近いようですか？しかし、私見theresのは....多分大々的に...何とか1993年の結果を一般化する方法であることになった

— vzn

反証するのが難しいAC ^ 0の代わりに別の同様のアイデアは深さ無制限ですが、多項式などの「小さな」関数に囲まれた総ゲート制限回路...？また、モノトーン回路とフーリエ係数の関係はあまり知られていない...？

— vzn

多対数独立性も参照してください。ブレイバーマンによるAC ^ 0回路

— vzn

回答:

号に次の関数を検討：明らかに、この関数はAC ⁰にとって難しいです。一方、関数はほぼ一定であるため、そのフーリエスペクトルのほとんどすべてが第1レベルにあります。 $\{0,1\}^n$

f (x) = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

バランスの取れた反例が必要な場合は、この関数はほぼ常にに等しいため、そのフーリエスペクトルのほとんどすべてが最初の2つのレベルにあります。

g (x) = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

AC0で関数を近似できない堅牢な例はありますか？

— MCH

最初のレベルに集中した関数は、入力に依存する関数に常に近いため、レベルのみに関心がある場合、堅牢な例はありません。

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— ユヴァルフィルム

@YuvalFilmusフーリエスペクトルレベルとは何ですか？なぜこの関数はにとって難しいのですか？

A C^{0}

$AC^0$

@Arulフーリエレベルは、特定のサイズのセットに対応するすべてのフーリエ係数で構成されます。サイズの昇順で並べられていると考えています。この機能がAC0にとって難しい理由については、これは演習です。ヒント：AC0のパリティは困難です。

— ユヴァルフィルマス

「小さなサイズ」と「集中する」の正確な意味に従って、質問を理解するにはいくつかの方法があります。

1）l-2ノルムのが小さいサイズの集中するようにブール関数を検討する場合、答えはノーです。多数決関数は、lの -2ノルムは有界集合にあり、はありません。 $1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2）Bourgainの定理があり、濃度が過半数関数の濃度をはるかに上回っている場合、関数はほぼJuntaであるため、O（1）変数に依存します。

3）| S |に期待される総影響力を求めることができます。記述される分布に関しては小さいです。関数の場合、影響の合計は最大です。全体の影響がO（1）である場合、関数は、O（1）変数に応じて、軍事政権に近くなります。 $\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

4）合計の影響が場合、可能ですが、関数が関数に近いことが。 $O(\log n)$ $AC^0$

5）全体の影響が場合、別の可能性は、境界の深さとサイズの関数です。総影響ポリログ（n）のすべての関数がそのような関数に近い可能性はありますが、不明です。 $O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— ギル・カライ
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