非決定性回路の能力を示す例

非決定的ブール回路には、通常の入力に加えて、「非決定性」入力のセットます。非決定論的回路は、回路を出力するようにが存在する場合、入力受け入れます。と同様 $x = (x_1,\dots,x_n)$ $y=(y_1,\dots,y_m)$ $C$ $x$ $y$ $1$ $(x,y)$ $P/poly$ （多項式サイズの回路によって決定可能な言語のクラス）、は、多項式サイズの非決定的回路によって決定可能な言語のクラスとして定義できます。広く、特に、非決定回路は決定的回路よりも強力であると考えられている多項式階層が崩壊することを意味します。 $NP/poly$ $NP \subset P/poly$

文献には、非決定的回路が決定的回路よりも強力であることを示す明示的な（および無条件の）例がありますか？

特に、サイズ非決定論的回路で計算できるが、サイズ決定論的回路では計算できない関数ファミリーを知っていますか？ $\{f_n\}_{n > 0}$ $cn$ $(c+\epsilon)n$

cc.complexity-theory circuit-complexity nondeterminism

— グスタフ・ノル
ソース

私はそのような家族が知られているとは思わない。ここでは非決定回路を研究最近の論文は、次のとおりです。arxiv.org/abs/1504.06731私は紙を発行する前に、ヒロキがここに同様の質問をすることを覚えています

— アレクサンダー・S.クリコフ

ありがとう。あなたが参照する質問はこれであると思います：cstheory.stackexchange.com/q/25736これは関連していますが、非決定的な回路の複雑さの下限を求めています。

— グスタフノルド

非決定性回路の1つの重要な特性は、CircuitSATからSATへの簡約と同じ考え方を使用して、非決定性入力を追加することにより、常に同等の深さ2回路に変換できることです。特に、これは、深さ2の非決定性回路が多項式サイズでnビットのパリティを計算できる一方で、パリティ2を計算する決定性回路はサイズ2 ^ n-1でなければならないことを意味します。

— またはMeir

いい視点ね！特に、上記のヒロキの結果に関連して、パリティの非決定論的回路複雑度は3（n-1）であり、これはパリティの決定論的回路複雑度に等しい。

— グスタフノルド

DeMorgan公式の場合は、上記のdepth-2回路に似ています。非決定論的DeMorgan式は、深さ2回路と同様の考え方を使用して、線形サイズでnビットのパリティを計算できますが、決定論的DeMorgan式はKhrapchenkoの定理による2次サイズが必要です。

— 森住博樹

この問題に進展がない場合は、答えがあります。

また、COCOON'15の論文（質問の前）からこの問題を検討しました。

今、私は証拠戦略を持っている、そしてそれはすぐに次の定理が得られます。ブール関数があり非決定的なことなの-circuit複雑最大であると決定論 -circuitは、複雑さはです。 $f$ $U_2$ $f$ $2n + o(n)$ $U_2$ $f$ $3n - o(n)$

論文を書いていないことをおaびします。以下の証明スケッチは、私の証明戦略を説明するのに十分かもしれません。STACS締切日（10月1日）までに、より多くの結果を伴う論文を書くことを目指しています。

[証明スケッチ]

してみましょう。 $f = \lor_{i=0}^{\sqrt{n}-1}{Parity_{\sqrt{n}}(x_{\sqrt{n} \cdot i + 1}, \ldots, x_{\sqrt{n} \cdot i + \sqrt{n}}})$

決定論的な下限証明は、わずかな修正を加えた標準的なゲート除去法に基づいています。

非決定論的上限証明は、そのような非決定論的回路の構築です。

演算回路構成。（ゲートの数はです。） $Parity_{\sqrt{n}}$ $o(n)$
選択して回路を構築するは非決定的に入力します。（ゲートの数はです。） $\sqrt{n}$ $2n + o(n)$
2つの回路を組み合わせます。

— 森住博樹
ソース

境界に問題があります。非決定的な複雑さは、決定的な複雑さより大きくすることはできません。

— エミルイェジャベクはモニカをサポートします

答えてくれてありがとう、まさに私が探していたものです！

— グスタフノール