Pの回路の複雑さに関するコルモゴロフの推測に対する/反対の議論

（未検証の）歴史的記述によれば、コルモゴロフはすべての言語が線形回路の複雑さを持っていると考えました。（が線形サイズの回路を持っているという以前の質問Kolmogorovの推測を参照してください。）意味することに注意してください。 $\mathsf{P}$ $P$ $\mathsf{P}\neq \mathsf{NP}$

しかし、コルモゴロフの予想は失敗すると思われます。たとえば、ライアン・ウィリアムズは最近に書いた紙：「真の場合の予想は、驚くことでしょう言語のために。必要時、それはこのような問題の複雑さとは考えにくい表示されます単に入力長ごとに異なる回路を設計できるため、サイズに魔法のように縮小します。」 $\mathsf{P}$ $n^{100^{100}}$ $O(n)$

一方、アンドレイ・コルモゴロフ（1903-1987）は、20世紀の主要な数学者の1人として広く認識されています。彼が完全に不条理な推測を提案したと想像するのはかなり難しい。したがって、それをよりよく理解するために、私は彼の驚くべき推測を実際にサポートするかもしれないいくつかの議論を見つけようとしました。ここに私が考えることができるものがあります：

と仮定します。次に、言語、が均一モデルと非均一モデルの両方で超線形の複雑さを持つようにします。その場合、2つの可能性があります。 $\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ $L\in \mathsf{P}$ $L$

を受け入れる既知の 明示的アルゴリズム（チューリングマシン）があります。これから、超線形回路の複雑さを持たなければならない明示的な関数ファミリーを構築できます。しかし、60年以上にわたる回路の熱心な研究でこのような例を見つけることができた人はいないため、これは考えにくいかもしれません。 $L$
既知の明示的なアルゴリズムはありません。たとえば、その存在は、選択の公理などの非構成的手段によって証明されます。または、明示的なアルゴリズムが存在する場合でも、誰もそれを見つけることができませんでした。ただし、の役割を果たすことができる言語の数は無限にあるため、これらすべての言語がこの非友好的な方法で動作する可能性は再びありません。 $L$ $L$

しかし、その後、両方のオプションをありそうもないものとして却下した場合、残っている可能性は、そのような $L$ が存在しないことだけです。これは $\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ を意味します。これはまさにコルモゴロフの予想です。

質問：コルモゴロフの予想に対する/反対の議論を考えることができますか？

cc.complexity-theory circuit-complexity ho.history-overview

— アンドラス・ファラゴ
ソース

コルモゴロフの予想に反論する候補者はいるのだろうか？もちろん、超線形の複雑さを証明する可能性のある問題を検討することもできます。たぶんそれらのいくつかは線形サイズの回路を持たない可能性が高いですか？

— ブルーノ

それに直面することができます、誰もわずかな手がかりを持っていません。（ハリウッドのゴールドマンの引用：「誰も何も知らない」）ただし、探求する価値のある大まかなアイデア/角度：圧縮理論と圧縮率。これは基本的にウィリアムズがほのめかしているものであり、おそらく多くの複雑なクラス分離の中心になる可能性があります。アイデアは、データをエンコードする基本的な方法/アルゴリズムがあり、一部のパターンは（任意の）エンコードを使用して圧縮するのが本質的に難しいということです。しかし、この分野でも結果は非常に少ないようです。

— vzn

ちなみに、コルモゴロフの複雑性と計算の複雑性の多くの関係は、例えばフォートノウが調査したものであり、コルモゴロフの複雑さに関する質問の多くは決定できないため、質問を解決するのが難しい理由に説明的なつながりがあるかもしれません...？

— vzn

@Bruno：完全な問題は、線形計画法や回路値問題などの良い候補になると思います。もし、少なくともこのような問題があってはならないことを推測することは妥当と思われるので、これらの問題は、多サイズ及びポリ対数深さも不均一に解決することはできません線形サイズ（および無制限の深さ）で解決可能。決定要因は別の合理的な候補かもしれません。しかし、これらは単なる提案です- 超線形の回路サイズを持っていると考える強い理由はありません。

P

$\mathsf{P}$

P ⊈ N C

$\mathsf{P} \not\subseteq \mathsf{NC}$

— ジョシュアグロショー14

回答:

あなたが引用している私の論文の脚注は、少なくとも私たちがコルモゴロフの直観であると考えているヒューリスティックな「議論」にも言及しています-ヒルベルトの13番目の問題の肯定的な解決策。

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_thirteenth_problem

特に、コルモゴロフとアーノルドは、変数の連続関数は「単純」関数の合成として表現できることを証明しました。2つの変数の加算と1つの変数の連続関数です。したがって、1変数の連続関数と2変数の加算の「基底」に対して、変数のすべての連続関数は「回路の複雑さ」持ちます。 $n$ $O(n^2)$ $n$ $O(n^2)$

コルモゴロフは、「変数で連続」が「変数とpoly時間計算可能なブール値」になり、上記の「基底」が2変数ブール関数になる離散アナログがあると信じているようです。 $n$ $n$ $(n)$

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

コルモゴロフが信じていた個別のアナログが実際に存在するとしたら、非常に興味深いでしょう。証明につながる可能性があるので、おそらく、研究者はそれを見つけようとしました。彼らが遭遇した主な障害は何でしたか？

P \neq N P

$P\neq NP$

— アンドラスファラゴ

障害？ほとんどの人はがサイズの回路を持たないと信じているので、固定ごとに、おそらく道路を探している人さえほとんどいないでしょう。

P

$P$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

— ライアンウィリアムズ

前の質問へのStasysの答えは賛成で、潜在的にいくつかの直感を提供します：/cstheory//a/22048/8243。私はそれを理解したので、ここで再度述べようとします。重要な直観は、回路を、アルゴリズムではなく、セット（それが受け入れるセット）のエンコードとして見ることです。アルゴリズムの実行時間によってエンコードサイズの上限を取得できます（つまり、time- TMをsize-回路に変換します）が、どのような逆の関係が存在すべきかは明確ではありません。言語が場合、おそらくこれは、メンバーシップが非常に簡潔にエンコードされるのに十分な「ローカル」であることを意味します。 $t$ $t$ $\mathsf{P}$

つまり、メンバーシップはアルゴリズムの実行時間に関するステートメントであり、線形回路は（おそらく）固定長ワードのセットのエンコードサイズに関するステートメントです。どちらも言語のシンプルさに関する声明ですが、多分まったく異なる世界に住んでいます。 $\mathsf{P}$

Stasysが言及している別の直観は、言語の「指標文字列」に由来します番目の辞書式文字列が言語にある場合はビットがであり、それ以外の場合はである無限文字列として形式化しましょう。言語の（ポリタイム）TMは、文字列の（高速）オラクルです---をバイナリで指定すると、番目のビットが生成されます。長さ入力用の（線形サイズの）回路は、文字列の長さプレフィックスの（簡潔な）オラクルです。推測は「「高速」オラクルを持つ無限ストリングには「簡潔な」プレフィックスオラクルがあります。」 $j$ $1$ $j$ $0$ $j$ $j$ $n$ $2^n$

上記のいずれも、と「linear」がステートメントの適切なそれぞれのパラメーターである理由を説明していませんが、1つの自然な直感-回路はアルゴリズムのように機能し、より複雑なアルゴリズムには同様に複雑な回路-誤解を招くかもしれません。 $``\mathsf{P}"$

— us
ソース