を詳細にカウントできますか

深さlg nの多項式サイズ（無制限のファンイン）回路によってビットのしきい値ゲートを計算できますか$n$？あるいは、これらの回路を使用して入力ビットの1の数をカウントできますか？$\frac{\lg n}{\lg \lg n}$

ある？$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n))$

なお、。したがって、本質的には、しきい値ゲートを計算するときに、回路の深さのlg lg n係数を保存できるかどうかが質問されます。$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))$$\lg \lg n$

編集：

クリストファーが答えで書いたように、因子を節約できます。しかし、もう少し節約できますか？私たちは、置き換えることができますO （LG $\lg \lg n$witho（lg$O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$？$o(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$

レイヤードブルートフォースのトリックは、（さらに一般的にはlg lg n + ω （1 ）の関数）を保存するためには機能しないように思えます。$2 \lg \lg n$$\lg \lg n + \omega(1)$

深さO （log n ）のファニン2回路を考えます。層分割Cの中にO （ログN /ログログN ）各ブロックのログログn個の連続した層。次に、各ブロックを深さ2の回路に置き換えます。つまり、ブロックの最後の層の各ゲートは、最大2 log log n = log nに依存し$C$$O(\log n)$$C$$O(\log n/\log\log n)$$\log\log n$$2^{\log\log n} = \log n$下のブロックの最後のレイヤーのゲート。したがって、最後のレイヤーの各ゲートを、入力が下のブロックの最後のレイヤーのゲートである多項式サイズのDNFに置き換えることができます。これをすべてのブロックの最後の層のすべてのゲートに対して行い、これらを接続すると、目的の回路が得られます。

これが本質的に得られる最高のものであることに注意してください：スイッチング補題は、深さまでの下限を可能にします。$\log n/ \log\log n$