有界深度確率分布

境界深度計算に関する2つの関連する質問：

1）nビットで開始し、ビットiで開始するには、独立して何らかの確率p（i）で0または1にできると仮定します。（問題が簡単になる場合、すべてのp（i）が0、1、または1/2であると想定できます。~~またはそれらのすべてが1/2であることさえ。~~）

ここで、制限された数の計算をラウンドにします。各ラウンドでは、互いに素なビットセットに可逆的な古典的なゲートを適用します。（普遍的な古典的なリバーシブルゲートのお気に入りのセットを修正します。）

最後に、nビットの文字列の確率分布を取得します。そのような配布の制限に関する結果はありますか？

私は、Hastadスイッチングの補題に類似した何かを探しています。ボッパナの結果は、全体の影響が小さいか、LMN定理です。

2）1）と同じ質問ですが、深さ制限のある量子回路に関するものです。

— ギル・カライ
ソース

私は何かが欠けているが、すべてに質問1ではありませんすることができる

に等しい

ささいな？あなたが上に均一な分布で始まり

、全単射下で不変です。

p (i)

$p(i)$

1 / 2

$1/2$

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$

— クラウスドレーゲル

次はあなたの問題の有用な変換ですか？入力（ベクトル

）を、長さ

バイナリ文字列の確率分布を表す長さ

ベクトルに変換します。これで、計算は（たとえば）左に作用する長さ

出力文字列の確率分布を生成する正方確率行列です。WLOGすべてのエントリがバイナリであると仮定できます。唯一の問題は、基底行列（可逆ゲート）の制限された数の行列乗算を介して生成できる確率的バイナリ行列のクラスです。

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

— usul

申し訳ありませんが、私はもっと正確にすべきです。ここでの基底行列とは、リバーシブルゲートではなく、並列に動作するリバーシブルゲートのセットを意味します。ゲートが与えられた場合、このようなマトリックスがどのように見えるかはすぐにはわかりません。

— usul

両方の答えは賞金に値する、私は何ができるかを見る

— ギルカライ

ビットの「ばらばらの集合」とはどういう意味ですか？

— vzn

回答:

Emanuele Viola et al。による比較的最近の論文がいくつかあり、それはサンプリング分布の複雑さを扱っています。それらは、有界深度決定ツリーや有界深度回路のような、制限された計算モデルに焦点を合わせています。

残念ながら、リバーシブルゲートについては説明していません。それどころか、出力長の損失がしばしばあります。それにもかかわらず、これらの論文は良い出発点かもしれません。

限定された深さの回路は良いコードをサンプリングできません

ディストリビューションの複雑さ

— マッシモラウリア
ソース

マッシモに感謝します！これは非常に関連性があります。

— ギルカライ

（私も非可逆的なケースに興味があります。）

— ギルKalai

短い答え。

量子回路の場合、少なくとも1つの非制限結果があります。任意の範囲の深さの量子回路は、多項式の深さの古典的な回路であっても、結果の確率の小さな乗法誤差でシミュレートできそうにありません。

もちろん、これは回路が実際に持つ制限を教えてくれません。特に、確率分布ではなく、範囲エラーのある決定問題に関心がある場合。ただし、HåstadのSwitching Lemmaのように、決定木の観点での分析は、これらの回路の古典的なシミュレーションの沖合いにはなりそうにないことを意味します。 $\mathsf{QNC^0}$

詳細

Fenner et al。によって与えられたポリログ深さ量子回路の定義を考慮することができます。（2005）：

定義。 、量子回路ファミリーのクラスであり、多項式が存在するため各れる含ま入力量子ビットと最大で新鮮ancillas、用途単一量子ビットゲートをおよび制御されたゲートではなく、深さを持ち。 $\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ $p(n)$ $O(\log^k(n))$

単一キュービットゲートは、固定有限セットからのものでなければなりませんが、これは、一定数のキュビットで固定ユニタリを任意の固定精度でシミュレートするのに十分です。また、回路の最後のキュービットのサブセットを使用して、回路ファミリの出力を表すことができます（たとえば、ブール関数の単一キュービット）。

Bremner、Jozsa、およびSheppard（2010）は、TerhalおよびDiVincenzo（2004）によるゲートテレポーテーション技術の適応を使用して、回路の一部のキュービットの事後選択に注意（セクション4を参照）問題を決定することができます。事後選択回路のシミュレーションに関する結果を使用すると、これは、任意の出力分布から古典的にサンプリングする問題を意味します。 $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ ブール誤差出力を伴う回路最大で $\mathsf{QNC^0}$ サンプリング確率は、多項式階層が部分的に崩壊しない限り、ランダムな多項式深度回路では不可能です（具体的には $\sqrt 2$ ）。 $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$

— ニール・ド・ボードラップ
ソース

親愛なるニール、非常に興味深い！ありがとう！特にディストリビューションに興味があります。「もちろん、これはあなたに教えない...」という理由を説明できますか？

— ギル・カライ

定数因子不近似性の結果は、PostQNC⁰= PostBQP = PPを介して保持されます。ここでは、非常に低いがゼロではない確率のイベントを条件とする量子定数深さ分布を介して、量子ポリ深さ分布をシミュレートするために、長い列のテレポーテーションの「強制」成功にポストセレクションが使用されます。ポリデプス回路でも、一定の近似係数が同様に保持されます。しかし、これは、たとえば絶対（および漸近）用語での振幅が特定の部分空間にどの程度集中している（または投影できる）かについての上限を教えてくれません。

— ニール・ド・ボードラップ