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タイトルは多かれ少なかれそれをすべて言っていますが、少し背景と興味のある特定の例を追加できると思います。 ImmermanやFaginなどの記述的複雑性理論家は、ロジックを使用して最も有名な複雑性クラスの多くを特徴付けています。たとえば、NPは2次の実存クエリで特徴付けることができます。Pは、最小固定小数点演算子を追加した1次クエリで特徴付けることができます。 私の質問は次のとおりです。BQPやNQPなどの量子複雑度クラスの表現を考え出す試み、特に成功した試みはありましたか？そうでない場合は、なぜですか？ ありがとうございました。 更新（モデレーター）：この質問は、mathoverflowに関するこの投稿で完全に回答されています。

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モジュラー累乗法（RSA操作の主要部分）は計算コストが高いことはよく知られており、私が理解している限り、モンゴメリーのモジュラー累乗法の手法が好ましい方法です。モジュラーべき乗も量子因数分解アルゴリズムで顕著に取り上げられており、同様に高価です。 それでは、なぜ、量子因数分解のための現在の詳細なサブルーチンに、モンゴメリのモジュラー累乗法が明らかに存在しないのですか？ 私が想像できる唯一のことは、何らかの明白でない理由のために高いキュービットのオーバーヘッドがあるということです。 Google Scholarでモンゴメリー量子「モジュラーべき乗」を実行しても、有用な結果は得られません。Van Meterなどによる量子加算とモジュラーべき乗に関する研究は承知していますが、それらの参考文献（この研究はまだ読んでいません）を調べると、Montgomeryの手法がそこで検討されていることを示していません。 これを議論しているように見える私が見つけた唯一の参考文献は日本語であり、残念ながら私は読むことができませんが、明らかに2002年の会議議事録からです。機械翻訳では、何か有用な可能性があることを示すナゲットが以下に追加されます。しかし、私はこれがフォローアップされたという兆候を見つけることができません。それは、アイデアがa）考慮され、次にb）廃棄されたと思うようにします。 算術演算における量子回路国広昇 ...この研究では、比較的大きなキュービットを必要としますが、量子計算時間が短いモジュラーべき乗回路を提案します。モンゴメリー削減[8]と右バイナリ法[9]を組み合わせて、回路Ruを構成します。縮約モンゴメリーは、自然数としてmがランダムに選択され、演算によって2mをmodし、剰余演算を実行します。これにより、計算時間が短縮されます... 3.2モンゴメリー削減の適用モンゴメリー削減[8]は次のように定式化されます...このアルゴリズムは正しい値を返すことができ、簡単に確認できます。MR（Y）彼は法則を求めます。2mポイントの2m多項式は重要であり、除算のみが必要です。さらに、モンゴメリー削減には、さまざまな計算方法があります。...一般に、削減モンゴメリーは1対1の関数ではありません... ...提案された方法は正しいバイナリ法を使用し、Montgomery Reductonは採用された機能を持っています。従来の方法よりも、回路の小さな部品が特徴です。多くの期待をするために必要なキュービットフォールトは、より短い計算時間で計算できます。将来的には、モンゴメリ削減と制御回路は、特に必要とされる量子ビットによって具体的に説明されていません。また、それぞれが効率的な量子回路の計画された構成に関しても、モジュラーべき乗以外の研究結果を利用して非算術（ユークリッド相互除算など）を行います。 ... [8] PL Montgomery、「試行分割のないモジュラー乗算」、計算の数学、44、170、pp。519-521、1985 ...

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一部のランダム化アルゴリズムを使用すると、アルゴリズムのランダム化を解除し、ランダムビットの使用を（実行時に可能なコストで）削除し、目的の下限（通常、定理がランダムの期待されるパフォーマンスに関する事実を使用して計算される）を最大化できますアルゴリズム）。量子アルゴリズムに相当するものはありますか？「逆量子化」の有名な結果はありますか？それとも、基礎となる状態空間がこの種の手法には大きすぎますか？

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コンピューティング量子（上の最近のいくつかのスレッドを読んで、ここで、ここでは、とここ）、私はいくつかの種類の電源についての興味深い疑問を覚えて作るノルムマシンを維持します。ℓpℓp\ell_p 量子の複雑性に取り組む複雑性理論で働く人々にとって、偉大な入門テキストは、ここに Joshua Grochowによって投稿されたFortnowの論文です。その論文では、量子チューリング機械は一般化された確率的チューリング機械として提示されています。基本的に、確率的機械は状態持っ下正規化ℓ 1、すなわち、ノルム∥ S ∥ 1 = 1。機械の時間発展は、|| P s ||| 1 = 1 のような確率行列Pの適用によって与えられます。つまり、Pはsssℓ1ℓ1\ell_1∥ の∥1= 1∥s∥1=1\parallel s\parallel_1=1PPP∥ P秒∥1= 1∥Ps∥1=1\parallel Ps\parallel_1=1PPPノルム。時刻における状態に tがある P 、T sは（の左または右乗算ので表記は正確ではないかもしれない Pは場合によって異なり sが行または列ベクトルであるかの行または列 Pは、ノルムを保存する部分空間です）。したがって、この意味では、確率チューリングマシンがある ℓ 1ノルム保存マシンが示さ Mのℓ 1。ℓ1ℓ1\ell_1tttPtsPtsP^tsPPPsssPPPℓ1ℓ1\ell_1Mℓ1Mℓ1M^{\ell_1} 次いで、機械をチューリング量子状態を有すると見なすことができると∥ S ∥ 2 = 1及びユニタリ行列P（ジャムのことℓ 2よう-norms）のP T Sは時刻の状態であるT ∥ P T S ∥ 2 = …

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今日ニューヨークと世界中で、クリストスパパディミトリウの誕生日が祝われます。これは、Christosの複雑性クラスPPAD（およびその他の関連クラス）と量子コンピューターの関係について尋ねる良い機会です。彼の有名な1994年の論文で、 Papadimitriouは、PLS、PPADなどのいくつかの重要な複雑性クラスを紹介し、体系的に研究しました。（Papadimitriouの論文は以前のいくつかの論文に依存しており、特にAviadが述べたように、PLSは1988年にJohnson-Papadimitriou-Yannakakisによって紹介されました。） 私の主な質問は： 量子コンピューターは問題にいくつかの利点をもたらしますか？または ？または？等...PPA DPPADPPADPL SPLSPLSPL S∩ PPA DPLS∩PPADPLS \cap PPAD 別の質問は、PLSとPPADのいくつかの量子類似体、およびChristosの他のクラスがあるかどうかです。 私は、暗号化にPPADの最近の顕著接続はこれらの論文で発見されたことに注意してください：ナッシュ均衡を見つけるの暗号硬度に N Bitansky、Oパネート、A・ローゼンとによって缶PPAD硬度標準の暗号化の前提に基づいていますか？Aローゼン、Gセゲフ、Iシャハフ、そしてナッシュ均衡を見つけることは、アルカライチョドゥーリ、パベルフバセク、チェサンカマス、クルジストフピエトルザク、アロンローゼン、ガイロスブラムによるフィアット-シャミルの破れほど簡単ではありません。また、私の意見では、Christosのクラスは特に数学と数学の証明に近いことにも注意してください。 更新： Ron Rothblumは（FBを介して）Choudhuri、Hubacek、Kamath、Pietrzak、Rosen、およびG. Rothblumの結果はPPADが量子コンピューターの能力をはるかに超えていることを示唆しているとコメントしました。（私はそれを説明する精巧な答えを見て喜んでいます。） もう1つのコメント：関連する素晴らしい質問は、立方体の一意の単一方向でシンクを見つけるのに効率的な量子アルゴリズムがあるかどうかです。（このタスクはよりも簡単だと思いますが、とどのように関連しているかはわかりません。）これは、量子的利点を見つけるための探求に関連していますhttps://cstheory.stackexchange.com/a/767/712。 んnnPL SPLSPLSPPA DPPADPPADL PLPLP お誕生日おめでとう、クリストス！

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1995年の論文「量子コンピューターでの素因数分解と離散対数のための多項式時間アルゴリズム」で、Peter W. Shorは、彼の因数分解アルゴリズムの順序検出部分の改善について議論しています。標準アルゴリズムの出力は、注文の除数のモジュロ。x ^ {r '} \ equiv 1 \ mod Nをチェックすることによりであるかどうかをチェックする代わりに、改善点は次のとおりです。 r x N r ′ = rr′r′r'rrrxxxNNNr′=rr′=rr'=rxr′≡1modNxr′≡1modNx^{r'}\equiv 1 \mod N [F]または候補rrrは、r'r′r ′だけでなく、その小さい倍数2r'、3r '、\ dotsも考慮2r',3r',…2r′,3r′,…2r ′ , 3r ′ , \dotsして、これらがxの実際の順序であるかどうかを確認する必要がありxxxます。[...この】技術は、最も困難なために試験の予想される数を減少させるnnnからO(loglogn)O(log⁡log⁡n)O(\log \log n)をO(1)O(1)O(1)第一の（場合logn)1+ϵlog⁡n)1+ϵ\log n)^{1+\epsilon}の倍数r'r′r ′と考えられている[Odylzko 1995]。 [Odylzko 1995]への言及は「個人的なコミュニケーション」ですが、Peter ShorとAndrew Odlyzkoがこれについて話し合ったときは出席していませんでした。試行回数はO（1）に削減されO(1)O(1)O(1)ます。これの証拠を知っていますか？

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ウィキペディアには、が外にあると推測される4つの問題がリストされています。離散対数; 量子システムのシミュレーション。ユニティの特定のルートでのジョーンズ多項式の計算。BQPBQPBQPPPP そのような問題は他にありますか？

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NielsenとChuangによるQuantum Computation and Quantum Informationでは、量子フーリエ変換に基づくアルゴリズムの多くはフーリエ変換のコセット不変性特性に依存しており、他の変換の不変性特性が新しいアルゴリズムを生成する可能性があることを示唆しています。 他の変換に関する実りある研究はありましたか？

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この質問は、Theorytical Computer Science Stack Exchangeで回答できるため、Physics Stack Exchangeから移行されました。 6年前に移行され ました。 断熱量子計算（AQC）では、[問題]ハミルトニアンの基底状態での最適化問題の解をエンコードします。この基底状態に到達するには、ハミルトニアンH iとH pに向かって「アニール」（断熱的に摂動）する、簡単に冷却可能な初期（基底）状態から開始します。HpHpH_pH私HiH_iHpHpH_p H（s ）= s H私+ （1 − s ）HpH(s)=sHi+(1−s)Hp H(s) = s H_i + (1-s) H_p ここで、。AQCの詳細：http : //arxiv.org/abs/quant-ph/0001106v1S ∈ [ 0 、1 ]s∈[0,1]s \in [0,1] この問題の興味深い点は、基底状態の固有値と最初の励起状態の間のギャップを理解しようとすることです。これにより、問題の複雑さが決まります。面白いことの1つは、特定の種類のハミルトニアンの行動について何かを言うことです。問題の複雑さを理解するために、シミュレーションによって小さなキュービットのケースのエネルギースペクトルを分析できますが、これはすぐに実行不可能になります。 私が知りたいのは、特定のハミルトニアンがどのように振る舞うかを見る幾何学的またはトポロジー的な方法があるかどうかです。誰かが上記の形式はホモトピーとして見ることができると言いました（スカラー関数が演算子に一般化されている場合）が、私はより高レベルの数学に精通していないので、これが何を意味するか、何ができるかわかりませんそれと。 ハミルトニアンは通常、イジングスピングラスハミルトニアン（少なくとも、がそうである）であることを言及するのに役立つかもしれません。高度な統計力学の文献もよく読んでいないので、これは別の方法かもしれません。HpHpH_p 誰かがこれについて何らかの説明を提供できるのか、少なくともいくつかの興味深い参照、キーワードなどを提供できるのかと思いました。

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Groverのアルゴリズムの時間の複雑さ（クエリの複雑さではありません）とは何ですか？あるように私には明確なようだがあるので反復は、各反復が順番に時間がかかる反射操作を使用する必要がありますユニバーサルゲートの標準セットを使用した。Ω （log（N）N−−√）Ω（ログ⁡（N）N）\Omega(\log(N) \sqrt{N})Ω （N−−√）Ω（N）\Omega(\sqrt{N})Ω （log（N））Ω（ログ⁡（N））\Omega(\log(N)) 問題は、Groverのアルゴリズムの時間の複雑さがあると言う単一の参照すら見つからないことです。ウィキペディア、および他のいくつかのWebページは、時間の複雑さを言います。Groverの論文は、「ステップ」を主張しています。Ω （log（N）N−−√）Ω（ログ⁡（N）N）\Omega(\log(N) \sqrt{N})O （N−−√）O（N）O(\sqrt{N})O （N−−√）O（N）O(\sqrt{N}) 何か不足していますか？おそらく、人はリフレクション操作を定義して単位時間を取るようにします。しかし、それは私には意味がありません。なぜなら、任意のユニタリに単位時間を取ることを許可するゲームをプレイできれば、クエリの複雑さと時間の複雑さに違いはないからです。

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リバーシブルコンピューティングは、熱力学的にリバーシブルな操作のみを許可する計算モデルです。少しの情報を消去するとジュールの熱が放出されると述べているランダウアーの原理によれば、これは1対1ではない遷移関数（たとえば、ブールANDおよびOR演算子）を排除します。量子計算で許可される演算はユニタリ行列で表されるため、量子計算は本質的に可逆であることはよく知られています。k Tln（2 ）kTln⁡(2)kT \ln(2) この質問は暗号に関するものです。非公式には、「可逆性」という概念は暗号化の基本的な目標に対する嫌悪感のようであり、「暗号化には固有の熱力学的コストがあるのか​​？」という質問を示唆しています。 これは、「すべてを量子で行うことができますか？」とは異なる質問だと思います。 彼には講義ノート、博士Preskillは述べ、「可逆コンピュータ上で不可逆的な計算をシミュレートするための一般的な戦略があります。それぞれの不可逆的なゲートは入力を固定し、出力を無視することによってトフォリゲートによってシミュレートすることができます。私たちは、蓄積し、すべての「ごみのセーブ'計算のステップを逆にするために必要な出力ビット。 " これは、不可逆操作のこれらの可逆量子シミュレーションが入力と「スクラッチ」スペースをとることを示唆しています。次に、操作はいくつかの「ダーティ」スクラッチビットとともに出力を生成します。演算はすべて、出力とガベージビットに関して可逆的ですが、ある時点で、ガベージビットは「破棄」され、それ以上考慮されません。 暗号化はトラップドア一方向関数の存在に依存するため、「スクラッチスペースを追加せずに、可逆論理演算のみを使用して実装できるトラップドア一方向関数はありますか？」もしそうなら、リバーシブル操作のみを使用して、スクラッチスペースなしで任意のトラップドア一方向関数を計算することも可能ですか？

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量子情報理論では、2つの量子チャネル間の距離は多くの場合、ダイヤモンドノルムを使用して測定されます。トレース距離、忠実度など、2つの量子状態間の距離を測定する方法もいくつかあります。Jamiołkowski同型は、量子チャネルと量子状​​態の間に二重性を提供します。 ダイヤモンドのノルムは計算が難しいことで有名であり、Jamiołkowskiの同型は、量子チャネルの距離測定と量子状態との相関関係を暗示しているように思えるので、これは少なくとも興味深いことです。だから、私の質問はこれです：ダイヤモンドノルムの距離と関連する状態間の距離（何らかの尺度で）の間に既知の関係はありますか？

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複雑性理論で私のお気に入りの定理は、時間階層定理です。ただし、これは1965年に行われました。 量子コンピューティングに似たようなものがあるかどうかを知りたかったのです。 また、そうでない場合、この方向で働いている人/グループは何ですか！

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計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？

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私は心の物理学者なので、一方向量子コンピューティングは素晴らしいと思います。特に、グラフ状態測定ベースの量子コンピューティング（MBQC）は、Raussendorf＆Briegelが発案した量子コンピューティングの研究において、本当に素晴らしい発展を遂げています。グラフで説明されているように、複数の部分が絡み合った状態を準備し、各ノードまたはキュービットで順次測定を実行する必要があります（決定論的計算の適応測定）。 このアプローチのもう1つの優れた側面は、ラウッセンドルフ、ブラウン、ブリーゲルが示すように、クリフォード回路をシングルラウンドの測定で実装できることです。これらの回路は、GottesmanとKnillが示すように（効率的に）古典的にシミュレートできるため、古典的なシミュレーションと時間的リソースの間の興味深い関係です。 ただし、すべての時間的にフラットなGraph State MBQC回路（1ラウンドの測定で構成される）が古典的にシミュレートできるとは限りません。たとえば、シェパードとブレムナーによって導入されたIQP回路と呼ばれる通勤ゲートで構成される量子回路モデルの回路ファミリは、MBQC でシングルタイムステップで実装できます。これらのIQP回路は、古典的にシミュレーション可能ではないと考えられています（計算の複雑さの観点では、多項式階層の崩壊につながります）。 ここで、1つのタイムステップで実装された回路のクラスのわかりやすい説明も参照してください。通勤/対角ユニタリは興味深い動作をすることができますが、非通勤回路は古典的にシミュレーション可能です。実装できるが、古典的なシミュレーションが可能であることがまだ示されていない非通勤回路があれば興味深いでしょう。 とにかく、私の質問は： MBQCで1つのタイムステップで実装できる他の興味深い回路はありますか？ 私は計算の複雑さや古典的なシミュレーションとの関係を好みますが、私は何か面白いものを見つけるでしょう。 編集：ジョーの以下の優れた答えの後、私はいくつかのことを明確にする必要があります。ジョーが言ったように（そして、少し恥ずかしいことに、私は自分の論文の1つで言ったように）、単一の測定ラウンドMBQC回路がIQPにあります。より正確には、MBQCの1回の測定で実装できるIQPの問題の興味深い回路に興味があります。クリフォードサーキットは興味深い例です。古典的にシミュレート可能な他の例があれば、それは非常に興味深いでしょう。IQP回路をシミュレートすることは古典的にはありそうもないと考えられているため、ある回路のインスタンスを見つけることは興味深いでしょう。

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