ダイヤモンドの基準と関連する州の距離との間に関係はありますか？

量子情報理論では、2つの量子チャネル間の距離は多くの場合、ダイヤモンドノルムを使用して測定されます。トレース距離、忠実度など、2つの量子状態間の距離を測定する方法もいくつかあります。Jamiołkowski同型は、量子チャネルと量子状態の間に二重性を提供します。

ダイヤモンドのノルムは計算が難しいことで有名であり、Jamiołkowskiの同型は、量子チャネルの距離測定と量子状態との相関関係を暗示しているように思えるので、これは少なくとも興味深いことです。だから、私の質問はこれです：ダイヤモンドノルムの距離と関連する状態間の距離（何らかの尺度で）の間に既知の関係はありますか？

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— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

「ダイヤモンドのノルムは計算が難しいことで悪名高い」とはどういう意味かわかりません。量子チャネルを明示的な行列として（たとえば、Choi-Jamiołkowski表現の）与えられた場合、そのダイヤモンドのノルムの2乗を定式化できます。半正定値プログラムとして。John Watrousによる講義ノートのセクション20.4を参照してください。その意味で、ダイヤモンドのノルムには効率的な計算手段があります。

— 伊藤剛

@剛：私は暗黙の最適化について言及していました。私は計算が難しいというわけではなく、むしろ扱いにくい。

— ジョーフィッツシモンズ

余談ですが、これらは非常に素晴らしい講義ノートです。

— スレシュヴェンカト

@Suresh @Tsuyoshi：はい、彼らは素晴らしいメモですが、私は彼らがこの特定の質問に答えるとは思わない。

— ジョーフィッツシモンズ

@TsuyoshiIto：何らかの理由で、QIPスライドの最後のセクションは20.3ですが、より完全な講義セットはありますか？

— アルテムオボツロフ

回答:

$\Phi$ $J(\Phi)$

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$

Φ

$\Phi$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

（上記の定義は任意のマッピングでは機能せず、完全に正のマップおよびの場合は形式のみが機能することに注意してください。 1、単に密度行列とは対照的。） $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

チャネルに関する追加の仮定がない場合は、これらの粗い境界を除き、これらの規範がどのように関連するかについてあまり語ることはできません。 2番目の不等式については、本質的に特定の選択を解決しますすべての最高点を取るよりも

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ 。最初の不平等はより厳しい入札ですが、量子情報に関する大学院課程の合理的な課題の質問です。（この時点で、あなたの質問に感謝する必要があります。この質問は、私の量子情報理論コースの秋のオファリングで完全に使用するつもりです。）

チャネルが完全に区別可能であるという追加の仮定（）の下でも、チャネルおよび適切な選択に対していずれかの不等式を達成できます。 $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— ジョン・ワトラウス
ソース

ジョンに感謝します。それは私の質問に完璧に答えてくれて、多くの時間を節約してくれました。

— ジョーフィッツシモンズ

また、実際の量子プロセスと理想的な量子プロセス arXiv：quant-ph / 0408063 を比較するために距離測定を調べて、量子チャネルとその関係の距離測定の概要を確認することもできます。

彼らは、長期使用S距離ダイヤモンド距離とのためのJ距離チャンネルに関連するJamiołkowski事業者のトレース距離のために。

— アントニオ・バレリオ・ミチェリ・バローネ
ソース

Watrousが確率的チャネルテレポーテーションに関して記述した最初の不平等について考えるのが好きです。ダイアモンドノルムを、チャネルおよび判別における最小エラー確率の尺度として解釈し、トレースノルムをそれらのJamiolkowski状態に相当するものとして解釈する場合、対応する状態からチャネルの最適な戦略をいつでも実装できます成功確率。これを厳密に行うことは、不平等を証明する方法かもしれません。 $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

また、この考え方は、チャネルを確定的にテレポートできる場合（パウリチャネルなど）、ダイアモンドノルムがJamiolkowskiトレース距離に等しいことを示しています。

— アレックス・モンラス
ソース