フーリエ変換以外の変換に基づく量子アルゴリズム

NielsenとChuangによるQuantum Computation and Quantum Informationでは、量子フーリエ変換に基づくアルゴリズムの多くはフーリエ変換のコセット不変性特性に依存しており、他の変換の不変性特性が新しいアルゴリズムを生成する可能性があることを示唆しています。

他の変換に関する実りある研究はありましたか？

スコットのコメントにさらに参照を追加したいと思います。

実際、Clebsch-Gordan変換（マルチレジスタ量子フーリエ変換と考えることができます）は、非アーベルの隠れサブグループ問題（HSP）の量子アルゴリズムの設計に役立つツールです。

• Greg KuperbergとOded RegevはClebsch-Gordan変換を使用して、準指数（まだ超多項式）時間で二面体HSPを解きました。これらの量子アルゴリズムは効率的ではありませんが、従来のアルゴリズムよりもクエリの複雑さが優れています。

• デイブベーコンもハイゼンベルグ群上隠れ部分群問題（HSP）を解決するためにクレープシュ-ゴルダン変換を使用 多項式時間で。それは非常に明確であるため、私はその紙をお勧めできます。$\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

また、量子フーリエ変換とClebsch-Gordan変換の両方が非常に有用である場合でも、必ずしも不可欠ではないことを忘れてはならないことを付け加えます。

• Shorのアルゴリズム（または量子位相推定）で、フーリエ変換はアダマールテストに置き換えることができます。したがって、フーリエ変換の代わりにアダマールゲートのみを使用します。このトリックはKitaevによるもので、ここで読むことができます。

• さらに別のある効率的なアルゴリズムを超えるHSPのためのクレープシュ-ゴルダン変換を使用していないベーコン、チャイルズ、ヴァン・ダム、で、。代わりに、アルゴリズムは、Pretty Good Measurementと呼ばれる特定のタイプの強力なPOVMを使用します。$\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

もちろん、このリストはおそらく不完全です。まだ言及されていない他の結果を誰かが指摘してくれることを願っています。

これがあなたの質問に直接リンクしているかどうかはわかりませんが、それを読んで、数年前に読んだPeterHøyerの記事について考えさせられました。その中で、GroverやShorのような最も人気のある量子アルゴリズムが、「共役演算子」と呼ばれるものを適用する同じパターンに従い、同じパターンに基づいて新しいアルゴリズムを構築する方法を示します。

私が言ったように、私がそれを読んでから数年が経っているので、私の説明は少しずさんですが、あなたがそれをチェックしたい場合のリンクはここにあります。

http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.59.3280