チューリングマシンを維持ノルム

コンピューティング量子（上の最近のいくつかのスレッドを読んで、ここで、ここでは、とここ）、私はいくつかの種類の電源についての興味深い疑問を覚えて作るノルムマシンを維持します。 $\ell_p$

量子の複雑性に取り組む複雑性理論で働く人々にとって、偉大な入門テキストは、ここに Joshua Grochowによって投稿されたFortnowの論文です。その論文では、量子チューリング機械は一般化された確率的チューリング機械として提示されています。基本的に、確率的機械は状態持っ下正規化、すなわち、ノルム。機械の時間発展は、ような確率行列適用によって与えられます。つまり、は $s$ $\ell_1$ $\parallel s\parallel_1=1$ $P$ $\parallel Ps\parallel_1=1$ $P$ ノルム。時刻における状態にある（の左または右乗算ので表記は正確ではないかもしれない場合によって異なり行または列ベクトルであるかの行または列ノルムを保存する部分空間です）。したがって、この意味では、確率チューリングマシンがあるノルム保存マシンが示さ。 $\ell_1$ $t$ $P^ts$ $P$ $s$ $P$ $\ell_1$ $M^{\ell_1}$

次いで、機械をチューリング量子状態を有すると見なすことができると及びユニタリ行列（ジャムのことよう-norms）時刻の状態である。これは、表記ノルム保存マシン。 $s$ $\parallel s\parallel_2=1$ $P$ $\ell_2$ $P^ts$ $t$ $\parallel P^ts\parallel_2=1$ $\ell_2$ $M^{\ell_2}$

一般的にしてみましょうを付して、マシンを保存ノルム。 $\ell_p$ $M^{\ell_p}$

だから私の質問は：

（1）のパワー何有限のためにマシンを保存ノルム？より形式的に、我々は任意のためにそれを証明することができと場合、、その後の言語が存在すると機械ように効率的に決定したして何のマシンが存在しない効率的に決定することを。たとえば、これが問題の一般化可能性があり、ある？。 $\ell_p$ $p$ $p$ $q$ $q>p$ $L$ $M^{\ell_q}$ $M^{\ell_q}$ $L$ $M^{\ell_p}$ $L$ $NP \subseteq BQP$

（2）どうですか？ここで、状態ベクトルの成分の最大値は1です。 $p=\infty$

（3）これらの質問は統一性を超えているため、量子力学に同意することは期待されていません。一般に、演算のユニタリティ制限を緩和すると、計算はどうなりますか？非線形演算子の許可に関する作業があります（Aaronson 2005を参照）。

（4）おそらく最も重要なのは、普遍的なことですか？特定のケースでは普遍的であるため、これは明確だと思います。しかし、ときに普遍性はどうなりますか？ $p=\infty$

— マルコス・ヴィラグラ
ソース

スコットアーロンソンによる非常に興味深い論文：量子力学は理論空間の島ですか？ scottaaronson.com/papers/island.pdf

— 伊藤剛

剛、これを答えに変えてもらえますか？スコットはマルコスの質問に直接対処しているようです。論文の提案5をご覧ください...

— ライアンウィリアムズ

まだ完全には読んでいませんが、上記の質問（1）と（3）に答えているようです。

— マルコスヴィラグラ

@ライアン：できた。次回は、名前の前にアットマークを追加して、「応答」ページに表示されるようにしてください。

— 伊藤剛

回答:

これは質問に対する完全な答えではありませんが、コメントとして書くには長すぎます。以前のコメントを拡張します。

「量子力学の公理が少し変更された場合、計算はどうなりますか？」という質問は、スコットアーロンソンによる楽しい論文[Aar04]で詳細に扱われています。あなたの質問は基本的に[Aar04]のセクション2の前半で答えられると思います。

アーロンソンは、p> 0かつp≠2の場合、すべてのベクトルのpノルムを保存する行列は、一般化された順列行列（順列行列と対角行列の積）であることを示しています。彼は、p =∞の場合にも同じことが言えると述べています。これらはすべてℝ以上とℝ以上の両方に当てはまります。これにはp = 1の場合も含まれることに注意してください。確率行列は、一般的にすべてのベクトルではなく、非負のベクトルに対して1ノルムを保持します。

[For00]のように一般化された確率的チューリングマシンは、それが決定論的チューリングマシンである場合にのみ、そのグローバル遷移マトリックスとして一般化された置換マトリックスを持っていると思いますが、手元に証拠はありません。

アーロンソンは、論文で量子力学の公理の他のいくつかの修正についても議論します。例えば、我々は結果xは確率で発生するので、測定のルール（代わりの許可ゲートのセット）を変更した場合|α _X | ^p / ∑ _y | _αy | ^P α、_yは振幅であり、|y⟩、この「量子コンピュータは、」P = 2（命題5）しない限り、多項式時間で（NP完全問題を含む）PP内の任意の問題を解決することができます。

参照資料

[Aar04]スコットアーロンソン。量子力学は理論空間の島ですか？Växjö会議の議事録「量子理論：基礎の再考」2004年。arXiv：quant-ph / 0401062 v2。

[For00]ランスフォートノウ。量子コンピューティングに対する複雑性理論家の見解。In Computing：the Australasian Theory Symposium（CATS 2000）、pp。58–72、Jan. 2000. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

— 伊藤剛
ソース

私にとって、これは振幅の2乗であり、4乗以上の電力ではない理由の最良の理由です。私が最初にQMを学び、正方形の選択が非常にarbitrary意的だったときに、この種の結果を知っていたらと思います。

— アルテムKaznatcheev

$p \not\in \{1,2\}$ $\ell_p$ $\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$ $\ell_1$ $\ell_2$ $\Omega(N^{1/p})$ $\ell_\infty$ $\ell_p$ $\ell_q$ $1/p+1/q=1$ $\ell_p$ $p$

— ダン・スタールケ
ソース