ShorのアルゴリズムのOdlyzkoの改善により、試行回数が

1995年の論文「量子コンピューターでの素因数分解と離散対数のための多項式時間アルゴリズム」で、Peter W. Shorは、彼の因数分解アルゴリズムの順序検出部分の改善について議論しています。標準アルゴリズムの出力は、注文の除数のモジュロ。チェックすることによりであるかどうかをチェックする代わりに、改善点は次のとおりです。 $r'$ $r$ $x$ $N$ $r'=r$ $x^{r'}\equiv 1 \mod N$

[F]または候補 $r$ は、 $r ′$ だけでなく、その小さい倍数も考慮 $2r ′ , 3r ′ , \dots$ して、これらが実際の順序であるかどうかを確認する必要があり $x$ ます。[...この】技術は、最も困難なために試験の予想される数を減少させる $n$ から $O(\log \log n)$ を $O(1)$ 第一の（場合 $\log n)^{1+\epsilon}$ の倍数 $r ′$ と考えられている[Odylzko 1995]。

[Odylzko 1995]への言及は「個人的なコミュニケーション」ですが、Peter ShorとAndrew Odlyzkoがこれについて話し合ったときは出席していませんでした。試行回数は削減され $O(1)$ ます。これの証拠を知っていますか？

quantum-computing nt.number-theory factoring

— フレデリック・グロシャン
ソース

アルゴリズムは何をしますか？基本的に、

r

$r$ とランダム

ℓ \leq r

$\ell \leq r$ を取り、

r^{'} = r / g c d (ℓ, r)

$r' = r/gcd(\ell,r)$ ます。したがって、

すべての小さな倍数をチェックする

r^{'}

$r'$ と、

r

$r$ がこれらの1つである可能性が非常に高くなります。

(\log n)^{1 + ϵ}

$(\log n)^{1+\epsilon}$ が

与えるのはなぜ

O (1)

$O(1)$ ですか？それが数論です。アンドリュー・オドリズコは数論者であり、私は彼にこの問題について相談したが、彼の正当性を完全に忘れてしまった。

— ピーターショー

ありがとう！数論者を自分で探す必要があるようです！

— フレデリックグロシャン

MathOverflowを試してください。

— カベ

私はそれについて考えています。すぐに答えが得られない場合は、そのための「数論的な方法」で再定式化するでしょう。私はそれを総体的な機能の和と言い換えることができると思います。

— フレデリックグロシャン

@Kaveh：MathOverflowの関連する質問で、関連する数論の質問をします。

— フレデリックグロシャン

MathOverflowに関するTerry Taoの回答。

— カベ
ソース