タグ付けされた質問 「matrices」

私の質問は簡単です： コンピューティングのための最もよく知られているアルゴリズムの実行時間最悪の場合は何である固有値分解のマトリックスは？n × nn×nn \times n 固有分解は行列乗算に還元されますか、それとも最悪の場合で最も知られているアルゴリズム（SVD経由）ですか？O （n3）O(n3)O(n^3) 条件番号のような問題に依存する定数を持つ境界ではなく、最悪の場合の分析（のみで）を求めていることに注意してください。nnn 編集：以下の回答のいくつかを考えて、質問を調整させてください：私は -approximationに満足するでしょう。近似は、乗法、加法、エントリ単位、または任意の合理的な定義にすることができます。ようなものよりもへの依存性が高い既知のアルゴリズムがあるかどうかに興味がありますか？nはO （P O LのY（1 / ε ）N 3）ϵϵ\epsilonnnnO （p o l y（1 / ϵ ）n3）O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) 編集2：対称行列に関するこの関連質問を参照してください。

40 ds.algorithms  time-complexity  matrices  linear-algebra  na.numerical-analysis 

一般に、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0すべてについて、O （n 2 + ϵ）時間で2つのn×nn×nn \times n行列を乗算することが可能であると考えられています。議論はここにあります。O(n2+ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon}) 私は、研究に精通している人々に、nに依存しないk>0k>0k>0があり、行列乗算のO （n 2 log k n ）アルゴリズムが存在し、圧倒的に直感的であると思われるかどうかを尋ねました答えは「いいえ」ですが、理由を説明できませんでした。つまり、O （n 2.001）時間でできるが、O （n 2 log 100 n ）時間ではできないと彼らは信じています。nnnO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)O(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n) 固定k > 0でO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)アルゴリズムがないと信じる理由は何ですか？k>0k>0k>0

39 cc.complexity-theory  linear-algebra  big-picture  matrices  matrix-product 

してみましょう正方整数行列で、とlet正の整数になります。次の決定問題の複雑さに興味があります。nMMMnnn 右上のエントリは正ですか？MnMnM^n 反復二乗（または他の明示的な計算）の明白なアプローチでは、潜在的に2倍の指数の整数、つまり指数的に多くのビットを持つ整数を処理する必要があることに注意してください。ただし、この問題はAllenderらの「PosSLP」クラス（「数値解析の複雑さ」、SIAM J. Comput。38（5））にあり、したがってカウント階層の第4レベルにあることが容易にわかります。。 1）このマトリックスの電力供給問題をより低い複雑度のクラスに配置することは可能ですか？ 2）そうでない場合は、おそらくPosSLPが難しいでしょうか？ 3）特に低次元の行列、つまり6x6行列までの行列乗法問題に興味があります。そのような行列の複雑さはより低くなる可能性がありますか？

26 cc.complexity-theory  linear-algebra  matrices 

+ 1を有する行列Aのサインランク-1エントリはAと同じ符号パターンを有する（行列Bの（実数にわたって）少なくともランク、すなわち、のすべてのためのI 、j）。この概念は、コミュニケーションの複雑さと学習理論において重要です。AijBij>0AijBij>0A_{ij}B_{ij}>0i,ji,ji,j 私の質問は、行列の符号ランクを因子内に近似する既知の（準指数時間）アルゴリズムはありますか？o(n)o(n)o(n) （私は、スペクトルノルムに関して符号ランクのForsterの下限を知っていますが、これは一般によりも良い近似比を生み出しません。）Ω(n)Ω(n)\Omega(n)

25 lg.learning  open-problem  communication-complexity  matrices 

Coppersmith–Winogradアルゴリズムは、2つの正方行列を乗算するための漸近的に既知のアルゴリズムです。彼らのアルゴリズムの実行時間は であり、これはこれまでで最もよく知られています。このアルゴリズムの空間の複雑さは何ですか？それがである？n×nn×nn \times nO(n2.376)O(n2.376)O(n^{2.376})Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)

24 ds.algorithms  matrices 

最近の非常に滑らかな感受性予想の証明は、マトリックスの明示*構造に依存しているAn∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}：再帰的に定義され、以下のように A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix} そして、、のためのn≥2n≥2n\geq 2、 An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix} 特に、参照することは容易であるA2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_nのすべてのためn≥1n≥1n\geq 1。 さて、多分私はあまりこの中に読んでいますが、このルックスは少なくとも構文的に行列の別の有名なファミリーに関連、また、あるアダマール行列、そのH2n∝InHn2∝InH_n^2 \propto I_nと「類似の」スペクトルを有する： H1=(111−1)H1=(111−1)H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} と、のためのn≥2n≥2n\geq 2、 Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix} 「あいまいに似ているように見える」ことを除いて、2つの間に、おそらく有用な正式な接続はありますか？ 例えば、AnAnA_n超立方体の署名された隣接行列として見る{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^nいい解釈（エッジの符号有する(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x')\in\{0,1\}^nのパリティでありますプレフィックスxxx）。HnHnH_nアナログはありますか？（これは明らかかもしれません？） ∗∗^*また、非明示的な構成、たとえば一様にランダムな±1±1\pm1行列が目的のスペクトル特性を持っているかどうか疑問に思っていますが、おそらく別の質問を待たなければなりません。

23 boolean-functions  matrices  boolean-matrix 

明示的に構築することが可能である0 / 1と-マトリックスN 1.5のすべてのことをするものなのN 0.499 × N 0.499部分行列は以下が含まN 0.501のもの？N× NN×NN \times N 0 / 10/10/1N1.5N1.5N^{1.5}N0.499× N0.499N0.499×N0.499N^{0.499} \times N^{0.499}N0.501N0.501N^{0.501} または、おそらく、そのようなプロパティの明示的なヒットセットを構築することが可能です。 ランダム行列は、指数関数的に近い確率でこのプロパティを持っていることが簡単にわかります。また、拡張特性の混合補題は、この特性を引き出すのに十分ではありません。111 組み合わせ長方形をだます疑似乱数ジェネレーターはここで役立つと思いますが、それらは均一な分布のために設計されており、基本的にここでです。B （N2、N− 0.5）B(N2,N−0.5)B(N^2, N^{-0.5})

20 co.combinatorics  matrices  pseudorandomness  pseudorandom-generators 

n行n列のマトリックスがあるとします。上三角行列を得るように行と列を並べ替えることは可能ですか？ この問題は、この問題に動機付けられています。 肯定的なトポロジカル順序付け 元の決定問題は少なくともこの問題と同じくらい難しいので、NP完全性の結果もそれを解決します。 編集：Laszlo VeghとAndras Frankは、Gunter Roteが尋ねた同等の問題に注意を向けました：http : //lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph 編集：元の問題の削減は次のとおりです。DAGに2つのレベルしかない場合、これらはマトリックスの行と列に対応するとします。また、重みが+1の単一のノードがあります。下位レベルの他のすべての人の体重は-1で、上位レベルの人は+1です。

20 ds.algorithms  np-hardness  open-problem  matrices 

行列は、そのすべての正方部分行列がフルランクの場合、完全に正規と呼ばれます。そのようなマトリックスは、超濃縮器を構築するために使用されました。与えられた行列が合理的に完全に規則的であるかどうかを判断する複雑さは何ですか？有限フィールド上ですか？ より一般的には、最大でk個のサイズのすべての正方部分行列がフルランクである場合、完全に正規の行列を呼び出します。行列とパラメータkが与えられた場合、行列が完全にk正規かどうかを判断する複雑さは何ですか？kkkkkkkkkkkk

19 cc.complexity-theory  reference-request  linear-algebra  matrices 

計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

n × n行列のガウス複雑度を、行列を上三角形式にするために必要な基本的な行と列の操作の最小数になるように定義します。これは、0からn 2までの量です（ガウス消去法を使用）。この概念はあらゆる分野で意味をなします。n×nn×nn \times n000n2n2n^2 この問題は確かに非常に基本的なものであり、研究されたに違いありません。驚いたことに、私は参考文献を知りません。だから、私はそこにある参考文献に満足しています。しかし、もちろん、主な質問は次のとおりです。 明らかな明確な下限はありますか？ 自明ではないことにより、超線形を意味します。明確にするために：有限体上で、カウント引数は、ランダム行列の複雑度がn ^ 2であることを示します（同様の主張は無限体でも当てはまります）。したがって、私たちが探しているのは、行列の明示的なファミリ、たとえば、Hadmard行列です。これは、ランダム関数の複雑度が高いことを知っているブール回路の複雑度と同じですが、このプロパティを持つ明示的な関数を探しています。

18 cc.complexity-theory  lower-bounds  matrices 

Strassenアルゴリズムでは、2つの行列とBの積を計算するために、行列AとBは2 × 2ブロック行列に分割され、アルゴリズムは単純な8ブロック行列ではなく、7ブロック行列-行列積を再帰的に計算します。行列積、すなわち、我々は場合はC = A B、 A = [ 1 、1 A 1 、2 A 2 、1 A 2 、2AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A BC=AB\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} 次に、我々は C 1 、1 = A 1 、1件のB 1 、1 + A 1A = [ A1 、1A2 、1A1 、2A2 、2] 、 B …

17 ds.algorithms  linear-algebra  matrices  matrix-product 

2つの行列および与えられた場合、B = P ^ {-1} APとなるような置換行列Pが存在するかどうかを決定する問題は（グラフ同型）と同等です。しかし、Pを緩和して単なる可逆行列にした場合、その複雑さはどうなりますか？この問題や他の困難な問題に関連する順列以外に、可逆行列Pに他の制限はありますか？n × nn×nn \times nAAABBBPPPB = P− 1A PB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI

16 ds.algorithms  time-complexity  linear-algebra  matrices  graph-isomorphism 

我々は、マトリックス与えられていると仮定、およびlet。その行列のパワーをどれくらい速く計算できますか？A ∈ RN× NA∈RN×NA \in \mathbb R^{N\times N}M ∈ N0m∈N0m \in \mathbb N_0AmAmA^m 積を計算することと比較した場合の次善の策は、高速なべき乗を使用することです。これには、行列積が必要です。mmmO （ログm ）O（ログ⁡m）\mathcal O(\log m ) 対角化可能な行列の場合、固有値分解を使用できます。それは自然な一般化であるジョーダン分解であり、挿管下では不安定であり、したがってカウントされません（afaik）。 一般的な場合の行列の累乗は高速化できますか？ 高速累乗法は、この質問のバリエーションも有用であることを示唆しています。 一般的な行列の二乗は、既知の行列乗算アルゴリズムよりも速く計算できますか？AAA

16 ds.algorithms  matrices  na.numerical-analysis 

整数エントリを持つn行n列の行列Mが与えられたと仮定します。我々は順列があるかどうかをPに決定することができすべての順列のためになるようにπ ≠ σ我々が持っているΠ M I σ （I ） ≠ Π M I π （私は）？σσ\sigmaπ≠ σπ≠σ\pi\ne\sigmaΠ M私はσ（i ）≠ Π M私π（i ）ΠM私σ（私）≠ΠM私π（私）\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)} 備考。もちろん、製品を合計に置き換えることができますが、問題は同じままです。 マトリックスに0/1エントリのみを含めることができる場合、NCにあるBipartite-UPM問題が発生します。 編集：最小化された用語が一意であるかどうかを判断するのは、ランダム化された削減を許可する場合、NP困難です。実際に、私はもともとそれが解決に貢献しているだろうので、この質問を提起したかったこの 1を。さて、これはNP完全であることが判明したので、問題の軽減をスケッチしてみましょう。入力がゼロと1の行列であると想像して（これを想定できます）、ゼロエントリを2〜2 + 1 / nのランダムな実数で置き換えます。高い確率でこの新しい行列では、元の行列が上三角形式に置換可能である場合にのみ、最小項が一意になります。 編集：同様の質問： エッジ重み付きグラフで、一意の重みを持つハミルトニアンサイクルはありますか？ すべての変数/満足できる割り当てに割り当てられた重みを持つCNFがある場合、割り当てを満たす一意の重みはありますか？ もちろん、これらは少なくともNPハードです。これらの問題は元の問題と同等ですか、それとも困難ですか？

16 cc.complexity-theory  ds.algorithms  matrices  matching  permanent