パーマネントに一意の用語があるかどうかを判断できますか？

整数エントリを持つn行n列の行列Mが与えられたと仮定します。我々は順列があるかどうかをPに決定することができすべての順列のためになるようにπ ≠ σ我々が持っているΠ M I σ （I ） ≠ Π M I π （私は）？$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

備考。もちろん、製品を合計に置き換えることができますが、問題は同じままです。

マトリックスに0/1エントリのみを含めることができる場合、NCにあるBipartite-UPM問題が発生します。

編集：最小化された用語が一意であるかどうかを判断するのは、ランダム化された削減を許可する場合、NP困難です。実際に、私はもともとそれが解決に貢献しているだろうので、この質問を提起したかったこの 1を。さて、これはNP完全であることが判明したので、問題の軽減をスケッチしてみましょう。入力がゼロと1の行列であると想像して（これを想定できます）、ゼロエントリを2〜2 + 1 / nのランダムな実数で置き換えます。高い確率でこの新しい行列では、元の行列が上三角形式に置換可能である場合にのみ、最小項が一意になります。

編集：同様の質問：

エッジ重み付きグラフで、一意の重みを持つハミルトニアンサイクルはありますか？

すべての変数/満足できる割り当てに割り当てられた重みを持つCNFがある場合、割り当てを満たす一意の重みはありますか？

もちろん、これらは少なくともNPハードです。これらの問題は元の問題と同等ですか、それとも困難ですか？

いい問題だ！問題を解決できれば、次の問題も解決できることを示す削減を与えることは難しくありません。これをISOLATED SUBSET SUMと呼びます。

整数a ₁、...、a _nが与えられた場合、その合計が他のサブセットと共有されていないa _iのサブセットSがありますか？

削減は、まずISOLATED SUBSET SUMをISOLATED PERFECT MATCHINGに削減することで機能します。ここで、重み付き2部グラフGが与えられた場合、他の完全一致では重みが共有されない完全一致を検索します。この削減は簡単です。iごとに、2x2の完全なサブグラフGを作成します_、私は Gには、そのような私たちはGのために選択した2つの可能なマッチングのどのことを_私はかどうかの我々の選択エンコード_私は集合Sであるが

次に、次のように、問題に対するISOLATED PERFECT MATCHINGを減らします。

1. すべてのi、jについて、エッジ（i、j）が存在し、重みw _ijを持つ場合、Mを設定します _ij：= exp（w _ij）を設定します。（これにより、合計が製品に変わります。）
2. すべてのi、jについて、エッジ（i、j）が存在しない場合、M _ij：= 0に設定します。
3. Mをパディングして、ΠM _{i、π（i）となる} 2つ以上の順列πがあることを確認します。 = 0となるます（これにより、Gの完全な一致に対応しない偽解が除外されます）。

さて、SUBSET SUM単離された、確かに感じている、それは少なくともNP困難だし、多分それは（明らかに上限が唯一Σであっても難しいものよりますように₂ P）！さらに、おそらく、Valiant-Vaziraniスタイルのランダム化削減を使用して、ISOLATED SUBSET SUMがNP困難であることを証明できます。しかし、これは私が他の誰かに任せる挑戦です...