正のトポロジカル順序付け、テイク3

n行n列のマトリックスがあるとします。上三角行列を得るように行と列を並べ替えることは可能ですか？

この問題は、この問題に動機付けられています。 肯定的なトポロジカル順序付け

元の決定問題は少なくともこの問題と同じくらい難しいので、NP完全性の結果もそれを解決します。

編集：Laszlo VeghとAndras Frankは、Gunter Roteが尋ねた同等の問題に注意を向けました：http : //lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

編集：元の問題の削減は次のとおりです。DAGに2つのレベルしかない場合、これらはマトリックスの行と列に対応するとします。また、重みが+1の単一のノードがあります。下位レベルの他のすべての人の体重は-1で、上位レベルの人は+1です。

問題はNP完全であることが判明しました。詳細はこちらとこちらをご覧ください。短い要約：

削減は、問題がダスグプタ、江、カンナン、リー、スウィーディックによってNP完全であることが示されたためです。2部グラフGと整数kが与えられ、Gが一意に一致します。StéphaneVialetteは、nk個の孤立ノードを両方のクラスに追加すると、この問題の2部構成の一意の一致バージョンに減少することを観察しました。

注意：これは推測と伝聞に基づいた部分的な答えです！David Eppsteinのより一般的な問題はNP完全ですが、多分これはPにあります。

$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• 2つの完全一致が含まれていてはなりません。
• $\le (1, 2, ..., n)$

これまでのところ、グラフがこれらの条件を満たしている例を見つけることができませんでしたが、UPMXにはなりません。その場合、おそらくそれらで十分です。次のアルゴリズムでこれを証明できます。

1. グラフに1つ以上の完全一致がある場合、「UPMXではない」を返します
2. グラフが次数条件に失敗した場合、「UPMXではない」を返します
3. グラフに= 1の完全一致がある場合、「UPMX」を返します
4. それ以外の場合は、UPMXであることを示すことができます。おそらく、次のアルゴリズムでそれを証明できます。
   • $\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • 追加しても完全なマッチングが作成されず、次数条件に違反しない新しいエッジeを見つけます。グラフにeを追加します
5. $\tbinom{n+1}{2} - 1$

ホールの定理を使用して、どの新しいエッジが完全なマッチングを作成するかを特徴付けることができ、どの新しいエッジが次数の境界に違反するかを特徴付けることは難しくありません。残念ながら、正しいタイプのエッジが常に存在するというのが事実であっても、私はそれを証明することができませんでした。

この論文、独立した行と列の置換による三角行列の取得 Fertin、Rusu、およびVialetteは、問題がバイナリ正方行列のNP完全であることを示しています。

問題はNP完全ですが、それを解決するアルゴリズムはどこにありますか？多くの例で機能する1つのアルゴリズムがありますが、常に機能することを示すことはできません。