正方行列のべき乗を計算する方法は？

我々は、マトリックス与えられていると仮定、およびlet。その行列のパワーをどれくらい速く計算できますか？$A \in \mathbb R^{N\times N}$$m \in \mathbb N_0$$A^m$

積を計算することと比較した場合の次善の策は、高速なべき乗を使用することです。これには、行列積が必要です。$m$$\mathcal O(\log m )$

対角化可能な行列の場合、固有値分解を使用できます。それは自然な一般化であるジョーダン分解であり、挿管下では不安定であり、したがってカウントされません（afaik）。

一般的な場合の行列の累乗は高速化できますか？

高速累乗法は、この質問のバリエーションも有用であることを示唆しています。

一般的な行列の二乗は、既知の行列乗算アルゴリズムよりも速く計算できますか？$A$

ご注意として、コンピューティングMすることで行うことができるO （ログメートル）上の行列乗算のための演算の回数数N × Nのマトリックス。2番目の質問に対する答えは、少なくとも漸近的な複雑さについてはいいえです。行列の平方と行列の乗算は、同等の時間/算術の複雑さ（定数係数まで）を持っています。二乗を行列乗算に減らすことは明らかです。乗算を2乗に減らすために、AとBの積を計算するとします。形成する2 N × 2 N行列Cをブロック構造で：$A^m$$O(\log m)$$N \times N$$A$$B$$2n \times 2n$$C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

つまり、有するnは× Nその左上象限における全ゼロ行列及び下部右象限。そのノートC 2が含まれているA ⋅ Bをその左上象限に。$C$$n \times n$$C^2$$A\cdot B$