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行列（仮定与えられた場合、列のランクと基底を計算する最速のアルゴリズムは何ですか？m×nm×nm \times nm≥nm≥nm \ge n 時間決定論的アルゴリズムと時間ランダム化アルゴリズムを意味する線形マトロイド交差によって解決できることを知っています。そこにあるより直接的にマトリックス乗算に問題（またはガウスの消去法）を低減することを時間決定性アルゴリズムは？O(mn1.62)O(mn1.62)O(mn^{1.62})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})

14 ds.algorithms  reference-request  time-complexity  linear-algebra  matrices 

線形方程式系の最もまばらな解を見つけるのはどれほど難しいですか？ より正式には、次の決定問題を考慮してください。 インスタンス：整数係数と数持つ線形方程式のシステムccc。 質問：少なくともccc個の変数がゼロに割り当てられているシステムの解決策はありますか？ また、に対する依存関係を判断しようとしていますccc。つまり、おそらく問題はパラメーター FPT cccです。 どんなアイデアや参考文献も本当に感謝しています。

13 np-hardness  linear-algebra  linear-programming  matrices  sparse-matrix 

合理的なエントリを持つ行列Aが与えられます。Aが対角化可能であることを確認する複雑さは何ですか？n × nn×nn\times nAAAAAA これはPで実行できると思いますが、参照はわかりません。しかし、より興味深い質問は、この問題を捕捉するためのより複雑なクラスはありますか？ どんなガイダンス/コメントも歓迎します！ありがとう。

13 cc.complexity-theory  linear-algebra  matrices 

A x = bであるような長さnの正方実行列Aと2つのベクトルxおよびbを作成します。標準のガウス消去法によりxを 解くと、ほぼO （n 3）の集合複雑度が得られます。しかし、解決（または場合があるεため-approximately解決）xはコストOを（N ログρ nは）このようなシステムとして、n × nn×nn\times nAA{\bf A}バツバツ{\bf x}bb{\bf b}nnnA X = B。Aバツ=b。{\bf A}{\bf x}={\bf b}.バツバツ{\bf x}O （n3）O（n3）O(n^3)ϵϵ\epsilonバツバツ{\bf x}O （n ログρn ）O（nログρ⁡n）O(n\log^\rho n)AA{\bf A} は、対称で対角線上に優勢な行列（たとえば、ラプラシアン）です[1]。 線形（または行列）など、線形（または自明ではないpoly（n））時間解を認める線形システムの他のファミリはどれですか？実行列の代わりに有限体を考慮する場合、ほぼ線形の時間解を認める行列のファミリーはありますか？ [1] http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/Research/linsolve.html

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次のabelianサブグループのメンバーシップテストの問題を考えます。 入力： 有限アーベル群G=Zd1×Zd1…×ZdmG=Zd1×Zd1…×ZdmG=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}任意大きいとdidid_i。 発電セット{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace亜群のH⊂GH⊂GH\subset G。 要素b∈Gb∈Gb\in G。 出力： 'はい'であればb∈Hb∈Hb\in Hの別の場所に'no'と」。 質問：この問題は、従来のコンピューターで効率的に解決できますか？古典的なチューリングマシンの通常の意味でO(polylog|G|)O(polylog|G|)O(\text{polylog}|G|)時間とメモリリソースを使用する場合、アルゴリズムは効率的だと思います。任意のサブグループHに対してと仮定できることに注意してください。入力サイズこの問題のは、⌈ ログ| G | ⌉。n=O(log|G|)n=O(log⁡|G|)n= O(\log|G|)HHH⌈log|G|⌉⌈log⁡|G|⌉\lceil \log|G|\rceil ややモチベーション。直観的には、線形合同システムまたは線形ディオファントス方程式を解くためのアルゴリズムで問題に取り組むことができるように見えます（以下を参照）。ただし、整数との計算のコンテキストで使用される計算効率には、強い多項式時間と弱い多項式時間、代数とビット複雑度などの異なる概念があるようです。私はこれらの定義の専門家ではなく、この質問を明確に解決する参考文献を見つけることができません。 更新：問題に対する答えは「はい」です。 遅い答えで、私はスミス正規形に基づいた方法を提案しました。これは、規定された形を持つすべてのグループにとって効率的です。 すべての特定の場合におけるものBlondinショーによって回答フォームであるD iは = NをE 、I、I及びN iが、E iが「小さな整数」であり、問題が属するNC 3 ⊂ P。小さな整数は、入力サイズO （log log | A |）で指数関数的に小さくなります。didid_idi=Neiidi=Nieid_i= N_i^{e_i}Ni,eiNi,eiN_i, e_iNC3⊂PNC3⊂P\text{NC}^3\subset \text{P}O(loglog|A|)O(log⁡log⁡|A|)O(\log\log|A|) 私の答えでは、この問題を解決するために「直交サブグループ」を使用しましたが、これは必要ないと考えています。私が読んでいる行エシェロンフォームの方法に基づいて、将来的にはより直接的な答えを提供しようとします。 いくつかの可能なアプローチ この問題は、線形合同システムおよび/または線形ディオファンタス方程式の解法と密接に関連しています。完了のためにこれらの接続を簡単に要約します。 取る、その列生成セットの要素である行列であることを { H 1、... 、HのN }。次の連立方程式AAA{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1, \ldots, …

12 ds.algorithms  time-complexity  matrices  nt.number-theory  gr.group-theory 

本当ましょう （K ≤ N）行列Aの任意のコレクションという特性を持つk個の列がフルランクであるが。k×nk×nk\times nk≤nk≤nk\le nAA{\bf A}kkk Q：拡張マトリックスA ′ = [ Aのようなベクトルを決定論的に見つける効率的な方法はありますかaa{\bf a}は Aと同じプロパティを保持します。k列はフルランクです。A′=[Aa]A′=[Aa]{\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]AA{\bf A}kkk 関連する補足事項：このプロパティを持つマトリックスは、(n,k)(n,k)(n,k)リードソロモンコードのジェネレーターです。Vandermonde構造を保持する列を追加すると、ランクプロパティが保持されます。

11 ds.algorithms  linear-algebra  matrices  coding-theory 

このブログでは、コンピュータを使用して「ねじれた小さな迷路」を生成し、それらを列挙する方法について説明しています。列挙はUSTを取得するためにウィルソンのアルゴリズムを使用して行うことができますが、そこにいくつあるかの式を覚えていません。 http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike 原則として、マトリックスツリーの定理は、グラフのスパニングツリーの数はグラフのラプラシアンマトリックスの行列式に等しいと述べています。ましょうグラフであり、および隣接行列であり、度行列で、次にの固有値を持つ次いで、：G = （E、V）G=（E、V）G= (E,V)ああADDDΔ = D − AΔ=D−あ\Delta = D - Aλλ\lambda k （G ）= 1んΠk = 1n − 1λkk（G）=1んΠk=1ん−1λk k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k 以下の場合には矩形の両方と固有値は、私が見つけることができません特に簡単な形をとるべきです。 m × nメートル×んm \times nああA 四角形の全域木の数の正確な式（および漸近）は何ですか？m × nメートル×んm \times n これは、動作中のウィルソンのアルゴリズムのかなりの例です。

10 graph-theory  randomized-algorithms  matrices  tree 

私の仕事中に私は次の問題を思いつきました： 私が見つけることを試みているn×nn×nn \times n (0,1)(0,1)(0,1) -マトリックスMMM任意のため、n>3n>3n > 3次のプロパティを持ちます、： の行列式MMMは偶数です。 任意の空でない部分集合のためのI,J⊆{1,2,3}I,J⊆{1,2,3}I,J\subseteq\{1,2,3\}と|I|=|J||I|=|J||I| = |J|、部分行列MIJMJIM^I_Jは、場合にのみ奇数行列式を持ちI=JI=JI=Jます。 ここでMIJMJIM^I_Jは、Iにインデックスを持つ行とJにインデックスを持つ列を削除することによって作成されたのサブマトリックスを示します。MMMIIIJJJ これまでは、ランダムサンプリングによってそのような行列を見つけようとしましたが、最初の行列を除くすべてのプロパティを持つ行列のみを見つけることができます。つまり、行列には​​常に奇数の行列式があります。さまざまな次元とさまざまな入出力セットを試しましたが、成功しませんでした。だからこれは私に考えさせます： 要件間に依存関係があり、それらが同時に真になることを妨げていますか？ または そのようなマトリックスが存在する可能性はありますか？誰かが私に例を示すことができますか？ ありがとう、エッチ

10 graph-theory  co.combinatorics  linear-algebra  matrices  boolean-matrix 

0-1行列のランクの対数は決定論的な通信の複雑さの下限であり、近似ランクの対数はランダム化された通信の複雑さの下限であることはわかっています。確定的な通信の複雑さとランダム化された通信の複雑さの最大のギャップは指数関数的です。では、ブール行列のランクと近似ランクの間のギャップはどうですか？

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次の問題を検討してください。 行列与えられた場合、 を計算するための乗算アルゴリズムの加算数を最適化したいとします。V ↦ M VMMMV ↦ Mvv↦Mvv \mapsto Mv この問題は、行列乗算の複雑さとの関係から興味深いものです（この問題は、行列乗算の制限されたバージョンです）。 この問題について何がわかっていますか？ この問題をマトリックス乗算問題の複雑さに関連づける興味深い結果はありますか？ 問題への答えは、追加ゲートのみの回路を見つけることを含むようです。減算ゲートを許可するとどうなりますか？ この問題と他の問題の間の削減を探しています。 動機 0-1行列ベクトル乗算の自動最適化 細粒度複雑性理論におけるこれらの仮説の間の関係は何ですか？

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ガウスの消去には算術演算が必要ですが、より優れたアルゴリズムが知られているかどうかはわかりません。O(n3)O(n3)O(n^3)

10 ds.algorithms  linear-algebra  matrices 

よくわかりません。私は、ソートの問題ということを証明したいすることによりn個のマトリックスすなわち行と列が昇順であるがΩ （nは2対数N ）。私はそれがn 2 log nよりも高速に実行できると想定して続行し、 m要素のソートに必要な比較のためにログ（m ！）の下限に違反しようとします。私には2つの矛盾する答えがあります。nnnnnnΩ(n2logn)Ω(n2log⁡n)\Omega(n^2\log n)n2lognn2log⁡nn^2\log nlog(m!)log⁡(m!)\log(m!) O （n 2）の並べ替えられた行列から要素の並べ替えられたリストを取得できます/math/298191/lower-bound-for-matrix-sorting/298199?iemail=1 ＃298199n2n2n^2O(n2)O(n2)O(n^2) あなたはより速くマトリックスからソートされたリストを取得することはできません/programming/4279524/how-to-sort-amxn-matrix-which-has- all-its-m-rows-sorted-and-n-columns-sortedΩ(n2log(n))Ω(n2log⁡(n))Ω(n^2\log(n)) どちらが正しいですか？

9 time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics 

最大化：私は、線形計画問題の家族持っているc′xc′xc' xの対象Ax≤bAx≤bA x\le b、x≥0x≥0x\ge0。AAA、bbb、およびの要素cccは非負の整数で、cccは正の整数です。（xxxも必要ですが、後で心配します。） 私のアプリケーションでは、係数AAAとcccが、単純なワンパスアルゴリズムがすべての選択に対して最適な解を与えるようなものであることがよくあります。ワンパスアルゴリズムはbbb、要素x1,…,xnx1,…,xnx_1,\dots,x_nを順番に決定し、各xjxjx_jは、すでに決定されている値と一致する可能な最大値になりますx1,…,xj−1x1,…,xj−1x_1,\dots,x_{j-1}。シンプレックス言語では、変数を入力する順序はx1x1x_1からxnxnx_n、ステップ後に終了します。これは、完全なシンプレックスと比較して多くの時間を節約します。nnn このアルゴリズムは、の列とcの要素が「安い」から「高価」にソートされている場合に機能します。「安価な」変数は、一般に小さい値を持つAの列であり、cの対応する要素は大きくなります。xのその要素の場合、制約bへの要求が少ない大量の出力が得られます。したがって、アルゴリズムは「最初に簡単なことを行う」とだけ言っています。AAAcccAAAcccxxxbbb 私の質問は、とcのどのプロパティが、この単純化されたアルゴリズムがすべてのbで機能することを保証するかです。私の最初の推測では、Aの非ゼロ要素は各行で増加するはずですが、それは正しくありません。AAAcccbbbAAA ここではいくつかの例と全てである： A 1 = （1 1 1 1 2 3 3 2 0）、 A 2 = （0 0 1 3 0 2 0 3 2）、 A 3 = （1 1 1 1 0 0 1 0 1）、 A 4c=(1,1,1)c=(1,1,1)c=(1,1,1)A1=⎛⎝⎜113122130⎞⎠⎟A1=(11112３３20）A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & …

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これは、前の質問の特殊版です： マトリックスの固有分解を見つけることの複雑さ。 NxN対称行列の場合、固有分解を計算するにはO（N ^ 3）時間で十分であることがわかっています。問題は、サブキュービックな複雑さを実現できるかどうかです。ありがとう。

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古典的な問題： 数が与えられたとします。以下のように-clique問題があります。kkkkkkk グラフ所与、サブセットが存在しないのの任意の2つの頂点のように頂点を隣接していますか？S k SGGGSSSkkkSSS ハイパーグラフの問題： 番号とが与えられたとします。以下のように-hyperclique問題があります。k （c 、k ）ccckkk(c,k)（c、k）(c,k) 所与 -uniformハイパーグラフ、セットが存在するのの任意のサブセットように頂点をから頂点 hyperedgeを形成します。H S k c ScccHHHSSSkkkcccSSS 質問： （1） -hyperclique を解くための最もよく知られたアルゴリズムは何ですか？(c,k)（c、k）(c,k) （2）その時間の複雑さはどれくらいですか？ （3） -hypercliqueと行列乗算の間には何らかの関係がありますか？(c,k)（c、k）(c,k) 私が知っているすべての人にとって、これはよく研究された問題かもしれません。この問題を調査する参考文献は大歓迎です。

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