最小数の加算を使用した行列ベクトル乗算アルゴリズム

次の問題を検討してください。

行列与えられた場合、 を計算するための乗算アルゴリズムの加算数を最適化したいとします。V ↦ M $M$$v \mapsto Mv$

この問題は、行列乗算の複雑さとの関係から興味深いものです（この問題は、行列乗算の制限されたバージョンです）。

この問題について何がわかっていますか？

この問題をマトリックス乗算問題の複雑さに関連づける興味深い結果はありますか？

問題への答えは、追加ゲートのみの回路を見つけることを含むようです。減算ゲートを許可するとどうなりますか？

この問題と他の問題の間の削減を探しています。

動機

• 0-1行列ベクトル乗算の自動最適化
• 細粒度複雑性理論におけるこれらの仮説の間の関係は何ですか？

これは本質的に、Valiantが（歴史を理解している限り）マトリックス剛性を複雑に導入する動機となった問題です。

線形回路は、ゲートのみが2入力線形結合ゲートである代数回路です。すべての線形変換（行列）は、2次サイズの線形回路によって計算できます。問題は、いつよりよくできるかです。ランダムな行列の場合、大幅に改善することはできないことが知られています。

フーリエ変換行列、低ランクの行列、まばらな行列など、一部の行列は大幅に改善できます。

十分に剛直な行列は、線形サイズと対数深度（Valiant）が同時に存在する線形回路では計算できませんが、現在まで、線形回路のサイズに超線形下限がある明示的な行列は知られていません。

与えられた行列の最小の線形回路のサイズを計算するのは難しいという結果を見たことを思い出しませんが、それがNP困難であったとしても驚かないでしょう。

$M$

• $\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$$M$$n\times n$$d$

• $\Omega(n^{4/3})$$M$$n\times n$$d$

• $\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$$M$$n\times n$$d$

これらの境界は、基本的にすべて可能な限り最高です。第6.3章を参照してください。中Chazelleの本。