長方形の全域木の数の正確な式

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このブログでは、コンピュータを使用して「ねじれた小さな迷路」を生成し、それらを列挙する方法について説明しています。列挙はUSTを取得するためにウィルソンのアルゴリズムを使用して行うことができますが、そこにいくつあるかの式を覚えていません。

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

原則として、マトリックスツリーの定理は、グラフのスパニングツリーの数はグラフのラプラシアンマトリックスの行列式に等しいと述べています。ましょうグラフであり、および隣接行列であり、度行列で、次にの固有値を持つ次いで、： $G= (E,V)$ $A$ $D$ $\Delta = D - A$ $\lambda$

k （ G ） = \frac{1}{ん} Π_{k = 1}^{ん - 1} λ_{k}

$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$

以下の場合には矩形の両方と固有値は、私が見つけることができません特に簡単な形をとるべきです。 $m \times n$ $A$

四角形の全域木の数の正確な式（および漸近）は何ですか？ $m \times n$

ここに画像の説明を入力してください

これは、動作中のウィルソンのアルゴリズムのかなりの例です。

— ジョン・マンガル
ソース

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整数シーケンスのオンライン百科事典正確な式は簡単に導き出せないように見えます。

— Peter Shor 2015

@PeterShor OEISの引用：Germain Kreweras、Complexite et Circuits Euleriens dans les sommes tensorielles de graphes、J。Combin。理論、B 24（1978）、202-212。彼は私たちと同じオブジェクトですよね？

— john mangual 2015

m \times n

$m \times n$

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https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdfによると、既知の閉じた形式の数式はありません。

$n$ $m$

\exp （ z_{s q} メートル ん ）

$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$

z_{s q} = \frac{4}{π} Σ_{私 = 0}^{\infty} \frac{（ - 1 ）^{私}}{（ 2 私 + 1 ）^{2}} \approx 1.16624

$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$

m

$m$

n

$n$

— デビッド・エップスタイン
ソース

長方形内のスパニングツリーの数（および直線ポリゴンによって記述されるサブグラフのより一般的なシーケンス）の正確な漸近式がここにあります：arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf（具体的には、結果2および命題13））

— ロレンツォナイト

繰り返しますが、それは数理物理学のリポジトリにあります。彼らは漸近式を厳密に証明しますか、それとも物理学のような仮説を使用しますか？

— David Eppstein、2018

Acta Math 185（2000）no。2、239-286。

— Lorenzo Najt

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m行n列の長方形グラフの固有値を使用して、そのようなグラフの完全一致の数の式を取得できます。ドミノタイルに関するWikipediaの記事を参照してください。

— タイソンウィリアムズ
ソース

これは興味深いですが、これが問題にどのように対処しているか詳しく説明できますか？この特定のケースでは、完全一致とスパニングツリーの間に何らかのマッピングがありますか？

— 2015