ハイパーグラフのkクリークの複雑さ

古典的な問題：

数が与えられたとします。以下のように-clique問題があります。 $k$ $k$

グラフ所与、サブセットが存在しないのの任意の2つの頂点のように頂点を隣接していますか？ $G$ $S$ $k$ $S$

ハイパーグラフの問題：

番号とが与えられたとします。以下のように-hyperclique問題があります。 $c$ $k$ $(c,k)$

所与 -uniformハイパーグラフ、セットが存在するのの任意のサブセットように頂点をから頂点 hyperedgeを形成します。 $c$ $H$ $S$ $k$ $c$ $S$

質問：

（1） -hyperclique を解くための最もよく知られたアルゴリズムは何ですか？ $(c,k)$

（2）その時間の複雑さはどれくらいですか？

（3） -hypercliqueと行列乗算の間には何らかの関係がありますか？ $(c,k)$

私が知っているすべての人にとって、これはよく研究された問題かもしれません。この問題を調査する参考文献は大歓迎です。

— マイケルウェハー
ソース

明らかであることを指摘する価値があるかもしれません：の場合を理解しているため、問題はに関してはFPTではなくNP完全（しかしに関してはFPTです）。さらに（まだ明白です）、問題を言い換えると、発生行列の行を選択し、これらの行の部分行列で、列が合計ます。

c = 2

$c=2$

c

$c$

k

$k$

k

$k$

(\binom{k}{c})

$k\choose c$

c

$c$

— Andrew D. King

これは通常、ユニフォームハイパーグラフで依存しないセットを見つけることで表現されます。いくつかの有用なポインタ（行列乗算を含むリンクを含む）については、Yusterの2006年のpaper research.haifa.ac.il/~raphy/papers/counthyper.pdfを参照してください。

k

$k$

c

$c$

— アンドラス・サラモン

@ AndrewD.King、私は「kに関してFPTである」とはどういう意味か理解できません。k-クリークはkに関してW [1] -hardです。そしてOP：K-クリークはすでに難しい[1]ですが、多項式問題と比較すると、あなたの質問は研究レベルの問題ではありません。

— 2015

情報のおかげで。 -hypercliqueがようなとがあるかどうかに最も興味があります。場合、 -cliqueはで解けることがわかっています。

c > 2

$c>2$

k > 2

$k>2$

(c, k)

$(c,k)$

D T I M E (n^{k - ϵ})

$\mathrm{DTIME}(n^{k-\epsilon})$

k > 2

$k>2$

k

$k$

D T I M E (n^{k - ϵ})

$\mathrm{DTIME}(n^{k-\epsilon})$

— マイケルウェハー2015

だから、クリークのn ^ o（k）はなく、行列の乗算との関係で、apの削減を意味するのではなく、実行時間を削減することだけを意味します。 cも指数に含めます。

— 2015

存在する場合、それは知られていない $\varepsilon > 0$ 、 $c > 2$ 、および $k > c$ ように $(c,k)$ hypercliqueがである $n^{k-\varepsilon}$ 時間。以下の場合そのノート $k \leq c$ 自明です。長年、私はこの問題を多くの人々に伝え、スタンフォードのcs266でそれを教えてきました。これは、 $k$ -Sat を解くことに関連しているためです。（ワークショップでのいくつかの未解決問題セッションはおそらくこれを記録しました。）ここに私が知っているいくつかのことがあります：

私は数年前に証明解決その $4-cycle$ に $n$ にノードグラフ $n^{2-\varepsilon}$ 時間が意味 $(3,4)$ hypercliqueで $n^{4-\varepsilon}$ 時間。公開していません。

UPDATE（2019年8月）前述の結果といくつかの一般化がペーパーに表示されるようになりました

アンドレアリンカーン、バージニアヴァシレフスカウィリアムズ、R。ライアンウィリアムズ：スパースグラフの最短サイクルとパスのタイトな硬さ。SODA 2018：1236-1252

あなたが解決できるかどうか $(3,4)$ 上記のようhypercliqueを、次いで、最大3土厳密未満で解決することができる $2^n$ 時間。同様に、 $(k,k+1)$ ハイパークリークを解くと、より高速な $k$ -Satアルゴリズムが生成されます。したがって、強いETHを信じる場合、ここには明らかな制限があります。還元は、三角形の知見（に最大-2-土から減少の自然一般化である $(2,3)$ ICALP'04と私の博士論文からクリーク）。

あなたは解決することができます $(c,k)$ にhypercliqueを $n^k/(\log n)^{\Omega(k)}$ 紙一般化することによって、時間の徒党の問題のための効率的なアルゴリズムを。

— ライアン・ウィリアムス
ソース

ライアン、ありがとう！私はあなたの答えとクリーク問題に関する論文を共有してくれてありがとう。:)

— Michael Wehar

5サイクルは4サイクルよりも難しいですか？

— Michael Wehar、2015

私たちの知る限り、3サイクルの方が難しいです。奇数の場合は一般に約O（n ^ {2.373}）時間かかり、偶数の場合は固定長のサイクルでO（n ^ 2）かかります。たとえば、YusterとZwickを参照してください。

— ライアンウィリアムズ

ああすごい！面白いですね。はい、ありがとうございます。:)

— マイケルウェハー

涼しい！更新されたリファレンスをありがとう。

— Michael Wehar