行列の符号ランクの近似

+ 1を有する行列Aのサインランク-1エントリはAと同じ符号パターンを有する（行列Bの（実数にわたって）少なくともランク、すなわち、のすべてのためのI 、j）。この概念は、コミュニケーションの複雑さと学習理論において重要です。$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

私の質問は、行列の符号ランクを因子内に近似する既知の（準指数時間）アルゴリズムはありますか？$o(n)$

（私は、スペクトルノルムに関して符号ランクのForsterの下限を知っていますが、これは一般によりも良い近似比を生み出しません。）$\Omega(n)$

これは未解決の質問だと思います。

「近似ランクの近似アルゴリズム」の LeeとSchraibmanは、多項式時間アルゴリズムによって近似ランクを定数因子に近似できることを示しています。そうするために、彼らは半正定値計画数量の関係近似ランクにαが 1撮影よりも、いくつかの有限のパラメータの大きいαを無限大の限界まで符号順位が、その結果が得られ、この中に何かを与えるものではありません設定。$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

Alon、Moran、およびYehudayoffによる最近の研究は、近似アルゴリズムを提供します。してみましょうdは、符号行列のVC-寸法で$O(n/\log n)$$d$$S$。アイデアは

• r a n k M = O （n 1 − 1 / d）となるような符号パターンSを持つ効率的に計算可能な行列が存在します。$M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• の符号ランクは少なくともdです。$S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$。